11. (2023·青岛中考)某服装店经销A,B两种T恤衫,进价和售价如下表所示：
| 品名 | A | B |
| 进价/(元/件) | 45 | 60 |
| 售价/(元/件) | 66 | 90 |
(1)第一次进货时,服装商用6000元购进A,B两种T恤衫共120件,全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响,第二次进货时,A种T恤衫进价每件上涨了5元,B种T恤衫进价每件上涨了10元,但两种T恤衫的售价不变.服装店计划购进A,B两种T恤衫共150件,且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍.设此次购进A种T恤衫$m$件,两种T恤衫全部售完可获利$W$元.
①请求出$W与m$的函数表达式.
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由.
答案：
(1)设购进A种T恤衫x件,购进B种T恤衫y件.根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} x+y=120,\\ 45x+60y=6000,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=80,\\ y=40,\end{array}\right. $
∴全部售完获利$(66-45)×80+(90-60)×40=1680+1200=2880$(元).
(2)①
∵第二次购进A种T恤衫m件,则购进B种T恤衫$(150-m)$件.根据题意得$150-m\leqslant 2m$,即$m\geqslant 50$,$\therefore W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150-m)=-4m+3000(50\leqslant m\leqslant 150)$.②服装店第二次获利不能超过第一次获利.理由如下:由
(1)可知$W=-4m+3000(50\leqslant m\leqslant 150)$,$\because -4＜0$,
∴W随m的增大而减小,
∴当$m=50$时,W取得最大值,最大值为$-4×50+3000=2800$(元).$\because 2800＜2880$,
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利.
解析：
【分析】
(1) 要计算全部售完的获利，首先需要求出A、B两种T恤衫的购进数量。我们可以设两个未知数，根据“总进货量120件”和“总进价6000元”两个等量关系列二元一次方程组求解，再结合“单件利润×数量=总利润”的公式，分别计算两种T恤的利润相加即可。
(2) ① 已知购进A种T恤衫m件，可得B种T恤衫购进(150-m)件，先根据“B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍”列不等式求出m的取值范围，再结合第二次上涨后的进价计算A、B的单件利润，根据总利润的构成列出W关于m的函数表达式即可。
② 先判断一次函数的增减性，结合m的取值范围求出W的最大值，再和第一次的获利对比，即可得出结论。
【解析】
(1) 设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件。
根据题意，得$\begin{cases} x+y=120\\ 45x+60y=6000 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=80\\ y=40 \end{cases}$
全部售完获利为：$(66-45)×80+(90-60)×40=21×80+30×40=1680+1200=2880$（元）
(2) ① 第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫$(150-m)$件。
根据题意得$150-m≤2m$，解得$m≥50$，结合购进量的实际意义，可得$50≤m≤150$。
第二次A的单件利润为$66-(45+5)=16$元，B的单件利润为$90-(60+10)=20$元。
因此总获利$W=16m+20(150-m)=-4m+3000$，即$W=-4m+3000(50≤m≤150)$。
② 服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
在一次函数$W=-4m+3000$中，$k=-4＜0$，因此W随m的增大而减小。
当m取最小值50时，W取得最大值，最大值为$-4×50+3000=2800$元。
因为$2800＜2880$，即第二次获利的最大值小于第一次获利，所以第二次获利不能超过第一次获利。
【答案】
(1) 2880元；
(2) ① $W=-4m+3000(50≤m≤150)$；
② 不能，理由见解析。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以销售利润问题为载体，综合考查了方程、不等式和一次函数的相关知识，解题核心是找准题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，是实际应用类的常考题型，对学生的信息梳理和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
12. 应用意识·运算能力 某商店销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑$x$(台),这100台电脑的销售总利润为$y$(元).
①求$y关于x$的函数表达式(不需写出自变量的取值范围).
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大？
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调$m(0＜m＜100)$元,且限定商店最多购进A型电脑70台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
答案：
(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} 10a+20b=4000,\\ 20a+10b=3500,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=100,\\ b=150,\end{array}\right. $即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.
(2)①根据题意,得$y=100x+150(100-x)$,即$y=-50x+15000$.②根据题意,得$100-x\leqslant 2x$,解得$x\geqslant 33\frac{1}{3}$.$\because y=-50x+15000$,$-50＜0$,
∴y随x的增大而减小.
∵x为正整数,
∴当$x=34$时,y取最大值,则$100-x=66$.即该商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时销售总利润最大.
(3)根据题意,得$y=(100+m)x+150(100-x)$,即$y=(m-50)x+15000$,$33\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 70$.①当$0＜m＜50$时,y随x的增大而减小,
∴当$x=34$时,y取最大值,即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时销售总利润最大;②当$m=50$时,$m-50=0$,$y=15000$,即商店购进A型电脑台数满足$33\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 70$,且为整数时,均获得最大利润;③当$50＜m＜100$时,$m-50＞0$,y随x的增大而增大,
∴当$x=70$时,y取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑时销售总利润最大.
解析：
【分析】
(1) 求解单台电脑利润，可通过设两个未知数，利用题目给出的两次销售总利润的等量关系，列二元一次方程组即可求解。
(2) ①总利润为A型电脑总利润与B型电脑总利润之和，已知A型进货x台，可得B型进货$(100-x)$台，结合(1)中求得的单台利润，代入整理即可得到函数表达式；②先根据“B型进货量不超过A型的2倍”列不等式求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，以及x为正整数的要求，即可找到使总利润最大的进货数量。
(3) A型出厂价下调m元且售价不变，说明每台A型利润增加m元，据此重新写出总利润的函数表达式，由于一次项系数含参数m，需分一次项系数小于0、等于0、大于0三种情况讨论函数增减性，再结合x的取值范围（含最多购进A型70台的限制），分别求出不同m区间内的最大利润进货方案。
【解析】
(1) 设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意得：
$\begin{cases} 10a+20b=4000\\ 20a+10b=3500 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=100\\ b=150 \end{cases}$
(2) ①购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，总利润：
$y=100x+150(100-x)=-50x+15000$
②根据题意得$100-x≤ 2x$，解得$x≥ 33\frac{1}{3}$
$\because y=-50x+15000$中$-50＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小
$\because x$为正整数，$\therefore x=34$时$y$取最大值，此时$100-x=66$
(3) 调整价格后A型单台利润为$(100+m)$元，总利润：
$y=(100+m)x+150(100-x)=(m-50)x+15000$，其中$33\frac{1}{3}≤ x≤ 70$且x为正整数
①当$0＜m＜50$时，$m-50＜0$，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore x=34$时$y$最大，对应购进A型34台，B型66台；
②当$m=50$时，$m-50=0$，$y=15000$为定值，$\therefore$x满足$33\frac{1}{3}≤ x≤ 70$且为整数时，总利润均最大；
③当$50＜m＜100$时，$m-50＞0$，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore x=70$时$y$最大，对应购进A型70台，B型30台。
【答案】
(1) 每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元；
(2) ①$y=-50x+15000$；②购进34台A型电脑、66台B型电脑时销售总利润最大；
(3) 当$0＜m＜50$时，购进34台A型、66台B型总利润最大；当$m=50$时，A型进货量满足$34≤ x≤70$（x为整数）时均获得最大利润；当$50＜m＜100$时，购进70台A型、30台B型总利润最大。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的综合题，将方程、不等式与函数知识结合考查，解题核心是找准数量关系建立对应表达式，第三问的分类讨论是易错点，需结合参数的不同取值范围判断函数增减性，能有效提升逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
