5. 在端午节前夕举行的龙舟比赛中,甲、乙两队在500 m的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数图象如图所示,下列说法:①乙队比甲队提前0.25 min到达终点;②乙队划行110 m时,此时落后甲队15 m;③0.5 min后,乙队比甲队每分钟快40 m;④自1.5 min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需提高到255 m/min.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：C
解析：
【分析】
解题首先需要根据函数图像上的已知点，分别求出甲、乙两队划行路程y与时间x的函数解析式，明确不同时间段两队的划行速度，再依次对4个结论分别计算验证，判断正误后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 求甲队的函数解析式：
设甲队路程与时间的解析式为$ y = k_1x $，将终点坐标$(2.5,500)$代入得：
$ 500 = 2.5k_1 $，解得$ k_1=200 $，即$ y_甲=200x $（$ 0≤ x≤2.5 $），可知甲队划行速度恒为200m/min。
2. 求乙队的函数解析式：
由图像可知，乙队在$ x≥0.5 $时的图像过点$(0.5,80)$和交点$(1,200)$，设这段解析式为$ y=k_2x+b $，代入两点列方程组：
$\begin{cases}80=0.5k_2 + b \\200=k_2 + b\end{cases}$
解得$ k_2=240 $，$ b=-40 $，即$ y_乙=240x - 40 $（$ x≥0.5 $），可知0.5min后乙队划行速度为240m/min。
3. 逐一验证结论：
① 甲到达终点时间为2.5min，乙到达终点时间为2.25min，乙比甲提前$ 2.5-2.25=0.25min $，结论正确。
② 乙划行110m时，因$ 110＞80 $，代入$ y_乙=240x-40 $得$ 110=240x-40 $，解得$ x=0.625min $，此时甲划行路程为$ 200×0.625=125m $，乙落后甲$ 125-110=15m $，结论正确。
③ 0.5min后乙的速度为240m/min，甲的速度为200m/min，乙比甲每分钟快$ 240-200=40m $，结论正确。
④ 1.5min时，甲已划行$ 200×1.5=300m $，剩余路程为$ 500-300=200m $，乙到达终点还需$ 2.25-1.5=0.75min $，甲需要达到的速度为$ 200÷0.75\approx266.7m/min≠255m/min $，结论错误。
综上，正确的结论共3个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图像、一次函数的实际应用、行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数图像的应用，解题核心是准确读取图像上的坐标信息，求出对应函数解析式，再结合解析式对结论逐一验证，注意分段函数的适用区间即可避免出错。
【难度系数】
0.6
6. 已知动点P以每秒2 cm的速度沿如图①所示的边框按B-C-D-E-F-A的路径移动,相应的△ABP的面积S关于时间t的图象如图②所示,AB= 6 cm.
(1)BC长为______cm,图②中a为______;
(2)图①的面积为$______cm^2;$
(3)图②中b为______.
答案：
(1)8 24
(2)60 解析:由题图可知BC=4×2=8(cm),CD=(6−4)×2=4(cm),DE=(9−6)×2=6(cm),
∴AF=BC+DE=14cm.又
∵AB=6cm,
∴题图①的面积是AB·AF−CD·DE=6×14−4×6=84−24=60(cm²).
(3)17 解析:由题意可得b=$\frac{BC+CD+DE+EF+FA}{2}$=$\frac{8+4+6+(6−4)+14}{2}$=17,即b的值是17.
解析：
【分析】
解决本题的核心是将函数图象的分段变化和动点P的运动路径对应起来：
1. 首先明确△ABP的面积公式为$S=\frac{1}{2} × AB × h$，其中h是点P到AB所在直线的垂直距离，AB为定长6cm，因此S的变化仅和h有关：h增大时S上升，h不变时S平稳，h减小时S下降。
2. 0~4s S持续上升，说明P在BC段运动，h随P的移动不断变大，4s时P到达C点，可据此计算BC长度，此时的S值就是a。
3. 4~6s S不变，说明h不变，即P在CD段运动，这段时间对应的路程就是CD的长度。
4. 6~9s S再次上升，说明P在DE段运动，h继续变大，9s时P到达E点，可计算DE的长度。
5. 结合图形边长关系即可求出整个图形的面积，最终算出P走完全程的总时间就是b的值。
【解析】
(1) 动点P的速度为2cm/s，0~4s P在BC上运动，因此$BC=2 × 4=8\ \mathrm{cm}$；
当P到达C点时，△ABP的高等于BC的长度，已知AB=6cm，因此$a=\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 6 × 8=24\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 先计算各边长度：
4~6s P在CD上运动，运动时长为$6-4=2\ \mathrm{s}$，因此$CD=2 × 2=4\ \mathrm{cm}$；
6~9s P在DE上运动，运动时长为$9-6=3\ \mathrm{s}$，因此$DE=2 × 3=6\ \mathrm{cm}$；
观察图①可得$AF=BC+DE=8+6=14\ \mathrm{cm}$，图形面积可通过大长方形ABCF的面积减去凹进去的小长方形面积计算：
$S=AB × AF - CD × DE=6 × 14 - 4 × 6=84-24=60\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 先计算EF的长度：$EF=AB - CD=6-4=2\ \mathrm{cm}$，FA=14cm，因此P走完全程的总路程为：
$BC+CD+DE+EF+FA=8+4+6+2+14=34\ \mathrm{cm}$，
已知速度为2cm/s，因此总时间$b=34 ÷ 2=17\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) 8；24
(2) 60
(3) 17
【知识点】
动点的函数图象，三角形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题是动点与函数图象结合的典型题型，解题关键是建立函数图象的分段特征和动点运动路径的对应关系，抓住“面积不变时动点到定边的垂直距离不变”这一核心，逐步求解各段边长即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
7. 某县在实施“村村通”工程中,决定在A,B两村之间修一条公路,甲、乙两个工程队分别从A,B两村同时开始相向修路,施工期间,甲队改变了一次修路速度,乙队因另有任务提前离开,余下的任务由甲队单独完成,直到公路修通,甲、乙两个工程队各自所修公路的长度y(m)与修路时间x(天)之间的函数图象如图所示.
(1)求甲队前8天所修公路的长度;
(2)求甲队改变修路速度后y与x之间的函数表达式;
(3)求这条公路的总长度.
答案：
(1)由题中图象可知前8天甲、乙两队修的公路一样长，乙队前8天所修公路的长度为840÷12×8=560(m).
答:甲队前8天所修公路的长度为560m.
(2)设甲队改变修路速度后y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将点(4,360),(8,560)代入,得{360=4k+b,560=8k+b,解得{k=50,b=160.故甲队改变修路速度后y与x之间的函数表达式为y=50x+160(4≤x≤16).
(3)当x=16时,y=50×16+160=960,由图象可知乙队共修了840m.960+840=1800(m).
答:这条公路的总长度为1800m.
解析：
【分析】
首先解决第(1)问：观察图象可知x=8天时甲、乙两队修路长度相等，因此先求出乙队的修路速度，再计算乙队8天的修路长度，即可得到甲队前8天的修路长度。
解决第(2)问：甲队在x=4天时改变修路速度，改变速度后的函数为一次函数，图象经过(4,360)和(8,560)两个点，采用待定系数法设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标解方程组即可得到函数表达式，同时标注自变量的取值范围。
解决第(3)问：公路总长度为甲队全程修路长度加乙队全程修路长度，乙队共修840m，将x=16代入第(2)问得到的函数表达式求出甲队总修路长度，两者相加即可得到公路总长。
【解析】
(1) 由图象可知，乙队12天共修路840m，乙队的修路速度为$840÷12=70(\mathrm{m/天})$。
x=8天时甲、乙两队修路长度相等，因此甲队前8天修路长度为$70×8=560(\mathrm{m})$。
(2) 设甲队改变修路速度后y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(4,360)$、$(8,560)$代入表达式，得：
$\begin{cases}360=4k+b\\560=8k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=50\\b=160\end{cases}$
因此甲队改变修路速度后y与x之间的函数表达式为$y=50x+160(4≤ x≤16)$。
(3) 将$x=16$代入$y=50x+160$，得$y=50×16+160=960(\mathrm{m})$，即甲队共修路960m。
由图象可知乙队共修路840m，因此公路总长度为$960+840=1800(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 甲队前8天所修公路的长度为$\boldsymbol{560\ \mathrm{m}}$；
(2) 甲队改变修路速度后y与x之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=50x+160(4≤ x≤16)}$；
(3) 这条公路的总长度为$\boldsymbol{1800\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；函数图象的实际应用
【点评】
本题结合工程问题考查一次函数的实际应用，解题关键是从函数图象中提取特殊点的坐标信息，明确坐标对应的实际意义，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式即可逐步解决所有问题。
【难度系数】
0.7
