1. (2023·扬州中考)近年来,市民交通安全意识逐步增强,头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔,已知购买甲种头盔20只,乙种头盔30只,共花费2920元,甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只,正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购买多少只甲种头盔,使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？
答案：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据题意，得{20x+30y=2920,x−y=11,解得{x=65,y=54.答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元.
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据题意，得m≥1/2(40−m)，解得m≥40/3，w=65×0.8m+(54−6)(40−m)=4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m的增大而增大，当m=14时，w取得最小值，即购买14只甲种头盔时，总费用最少，最少费用为14×4+1920=1976（元）.答：购买14只甲种头盔时，总费用最少，最少费用为1976元.
解析：
【分析】
（1）第一问可通过设未知数列二元一次方程组求解，根据“购买20只甲头盔+30只乙头盔总花费2920元”“甲单价比乙单价高11元”两个等量关系列方程，联立求解即可得两种头盔的单价。
（2）第二问属于最优方案问题，先设购进甲种头盔数量为m只、总费用为w元，先根据“甲种头盔数量不低于乙种头盔数量的一半”列不等式求出m的取值范围；再结合促销规则列出总费用w关于m的一次函数解析式，根据一次函数增减性，在m的取值范围内取符合条件的最小正整数，即可求出总费用最小值。
【解析】
（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}20x + 30y = 2920 \\ x - y = 11 \end{cases}$
将$x=y+11$代入第一个方程，得$20(y+11)+30y=2920$，解得$y=54$，代入得$x=54+11=65$。
（2）设再次购进甲种头盔m只，则购进乙种头盔$(40-m)$只，总费用为w元。
根据题意列不等式：$m≥\frac{1}{2}(40-m)$，解得$m≥\frac{40}{3}$，由于m为正整数，因此m的最小取值为14。
根据促销规则列总费用解析式：
$w=65×0.8m+(54-6)(40-m)=52m+48(40-m)=4m+1920$
$\because4＞0$，$\therefore w$随$m$的增大而增大，当$m=14$时，w取得最小值：
$w_{\mathrm{最小}}=4×14+1920=1976$（元）
【答案】
（1）甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）应购买14只甲种头盔时总费用最少，最少费用为1976元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程、不等式与一次函数的综合应用，重点考察学生提取题干等量关系、利用一次函数增减性求解最值的能力，是中考常考的实际应用类题型，解题时需注意自变量的实际取值需为正整数。
【难度系数】
0.7
2. (荆州中考改编)甲、乙两厂生产了某种物资共500吨,乙厂的生产量比甲厂的2倍少100吨.这批物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位：元/吨).
|目的地|A|B|
|生产厂| | |
|甲|20|25|
|乙|15|24|
(1)求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨；
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元,求y与x之间的函数表达式,并设计使总运费最少的调运方案；
(3)当每吨运费均降低m元(0＜m≤15且m为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元,求m的最小值.
答案：（1）设这批物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则{a+b=500,2a−b=100,解得{a=200,b=300.答：这批物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨.
（2）由题意，得y=20(240−x)+25[260−(300−x)]+15x+24(300−x)=−4x+11000，
∵{x≥0,240−x≥0,300−x≥0,260−(300−x)≥0,
∴40≤x≤240.又
∵−4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=240时，可以使总运费最少，
∴y与x之间的函数表达式为y=−4x+11000.总运费最少的调运方案：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨.
（3）由题意和（2），得y=−4x+11000−500m，当x=240时，y最小=−4×240+11000−500m=10040−500m，
∴10040−500m≤5200，解得m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，
∴m的最小值为10.
解析：
【分析】
（1）本问可根据题干给出的两个等量关系列二元一次方程组求解：①甲、乙两厂总产量为500吨；②乙厂产量=2×甲厂产量-100吨，设甲、乙产量分别为a、b吨，代入等量关系解方程即可。
（2）求总运费的函数表达式，首先需用含x的式子表示所有调运路径的运量：乙厂运往A地x吨，则乙厂运往B地(300-x)吨；A地共需240吨，故甲厂运往A地(240-x)吨；B地共需260吨，故甲厂运往B地[260-(300-x)]=(x-40)吨。所有运量均为非负数，据此可求出x的取值范围。再根据“总运费=各路径运量×对应运费之和”列出函数式，结合一次函数的增减性即可找到总运费最少时x的取值，对应写出调运方案。
（3）每吨运费降低m元，总500吨物资总运费共减少500m元，将（2）中总运费最少时的x值代入调整后的总运费表达式，结合总运费不超过5200元列不等式，求解后结合m的取值范围取最小整数即可。
【解析】
（1）设甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意得：
$\begin{cases} a+b=500 \\ 2a-b=100 \end{cases}$
两式相加得3a=600，解得a=200，代入a+b=500得b=300。
（2）根据调运量的关系，总运费：
$y=20(240-x)+25(x-40)+15x+24(300-x)$
整理得：$y=-4x+11000$
由运量非负可得不等式组：
$\begin{cases} x≥0 \\ 240-x≥0 \\ 300-x≥0 \\ x-40≥0 \end{cases}$
解得$40≤ x≤240$
∵一次函数$y=-4x+11000$中$k=-4＜0$，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最大值240时，总运费y最小。
此时调运方案为：甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地$300-240=60$吨。
（3）每吨运费降低m元后，总运费为$y=-4x+11000-500m$，
将x=240代入得最小总运费：$y=-4×240+11000-500m=10040-500m$
由题意得$10040-500m≤5200$
解得$m≥9.68$
∵$0＜m≤15$且m为整数，
∴m的最小值为10。
【答案】
（1）甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）y与x的函数表达式为$y=-4x+11000（40≤ x≤240）$，总运费最少的调运方案：甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；
（3）m的最小值为10。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的最优方案；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是实际应用类综合题，融合了方程、一次函数、不等式的核心知识，解题的关键是理清调运过程中各量的数量关系，结合一次函数的增减性确定最优方案，对学生的逻辑分析能力和实际问题转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
