直角三角形斜边上的中线等于______.
答案：斜边的一半
解析：
【分析】
本题考查直角三角形的基础性质，解题思路为直接回忆已学的直角三角形特殊性质定理即可作答。若需推导验证，可利用矩形的性质：将两个全等的直角三角形拼接为矩形，此时直角三角形的斜边对应矩形的对角线，斜边上的中线对应矩形对角线的一半，而矩形的对角线相等，因此可推出斜边上的中线长度与斜边的关系。
【解析】
根据直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。我们也可以通过构造矩形推导：把直角三角形以斜边中点为中心旋转180°，得到的四边形是矩形，斜边上的中线是矩形对角线的一半，而矩形对角线长度等于直角三角形的斜边长度，因此可得斜边上的中线等于斜边的一半。
【答案】
斜边的一半
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.矩形的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，是直角三角形相关性质的核心考点之一，该性质是解决直角三角形中线、线段长度计算等几何问题的常用依据，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 如图,一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点P到点O的距离( )
A.不变
B.变小
C.变大
D.无法判断
答案：A
解析：
【分析】
首先观察图形可知，墙ON与地面OM垂直，因此△AOB始终是直角三角形，斜边为木棍AB。已知P是AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线的相关性质，再分析滑动过程的不变量：木棍AB的长度在滑动时不会发生改变，结合斜边中线的性质即可判断OP的长度变化情况。
【解析】
连接OP，
∵ ON⊥OM，
∴ ∠AOB=90°，即△AOB是直角三角形，
又
∵ P是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得：$OP=\frac{1}{2}AB$，
在木棍滑动的过程中，AB的长度始终不变，因此$\frac{1}{2}AB$的大小也不变，即点P到点O的距离不变。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 动态定值分析
【点评】
本题属于动态几何类基础题，解题的关键是抓住滑动过程中AB长度不变这一核心不变量，结合直角三角形斜边中线的性质即可快速得出结论，不要被滑动的动态过程迷惑。
【难度系数】
0.8
2. (徐州中考)如图,Rt△ABC中,∠ABC= 90°,D为AC的中点,若∠C= 55°,则∠ABD= ( )
A.30°
B.35°
C.45°
D.55°
答案：B
解析：
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知Rt△ABC中∠ABC=90°，D是斜边AC的中点，求∠ABD的度数。首先看到直角三角形斜边中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得BD与AC的一半相等，进而得到BD=CD，再结合等腰三角形等边对等角的性质，结合已知的∠C的度数，即可求出所求角的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$BD = CD = \frac{1}{2}AC$，
∴△BDC为等腰三角形，
∴∠DBC = ∠C = 55°，
又
∵∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 90°，
∴∠ABD = 90° - ∠DBC = 90° - 55° = 35°。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，将直角三角形的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是根据斜边中点的条件推出线段相等，进而转化为角的关系求解。
【难度系数】
0.8
3. (2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB= 90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD= ______cm.
答案：3
解析：
【分析】
解题思路分为两步：第一步先根据刻度尺上A、B对应的刻度算出AB的长度；第二步结合∠ACB=90°、D是AB中点的条件，运用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
首先计算AB的长度：由刻度尺可知，点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此$AB = 7\mathrm{cm} - 1\mathrm{cm} = 6\mathrm{cm}$。
已知$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形，且D为斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CD = \frac{1}{2}AB$。
将$AB=6\mathrm{cm}$代入得：$CD = \frac{1}{2} × 6\mathrm{cm} = 3\mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
长度测量；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题结合刻度尺读数考查直角三角形的基础性质，解题关键是先准确求出斜边AB的长度，再对应性质计算中线长度，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在△ABC中,AB= AC= 10,BC= 8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为______.
答案：14
解析：
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合AD平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，且D是BC的中点，先求出CD的长度；再观察到△ADC是直角三角形，E是AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DE=EC=½AC，最后将△CDE的三条边长度相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，D为BC的中点
∴CD=½BC=4
∵E为AC的中点，AC=10，△ADC是直角三角形
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DE=EC=½AC=5
∴△CDE的周长=CD+DE+EC=4+5+5=14
【答案】
14
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形斜边中线定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是灵活运用等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质转化线段长度，不需要复杂的推理计算，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在△ABC中,点D在AB边上,且CD⊥BC,点E是BD的中点,∠A= ∠CEA.求证:AC= BE.
答案：
∵ CD⊥BC,
∴ ∠DCB=90°,
∴ △DCB是直角三角形.又
∵ DE=BE,
∴ CE=BE.
∵ ∠A=∠CEA,
∴ AC=CE,
∴ AC=BE.
解析：
【分析】
要证明AC=BE，可通过中间线段CE进行等量代换推导：首先由CD⊥BC可知△BCD是直角三角形，结合E是BD中点的条件，根据直角三角形斜边中线的性质可得到CE=BE；再根据已知∠A=∠CEA，利用等角对等边可推出AC=CE，最后通过等量代换即可得出结论。
【解析】
∵ CD⊥BC，
∴ ∠DCB=90°，
∴ △DCB是直角三角形，
又
∵ E是BD的中点，
∴ CE是Rt△DCB斜边BD的中线，可得CE=BE，
∵ ∠A=∠CEA，
∴ AC=CE（等角对等边），
∴ AC=BE（等量代换）。
【答案】
AC=BE
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等角对等边
【点评】
本题是基础的几何证明题，解题核心是找到中间等量CE，将待证的两条线段通过中间量关联，结合直角三角形和等腰三角形的基础性质即可完成推导，能帮助学生巩固相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD为AB边上的高,若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,则∠B的度数是( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.75°
答案：C
解析：
【分析】
解题时先梳理题中已知条件：①Rt△ABC中∠ACB=90°，E为AB中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到CE=AE=BE；②点A与E关于CD对称，根据轴对称的性质可得AC=CE。结合两个结论可推出△ACE为等边三角形，求出∠A的度数后，再利用直角三角形两锐角互余即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴CE=AE=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵点A关于CD所在直线的对称点为E，
∴AC=CE（轴对称的性质：对应边相等）。
∴AC=CE=AE，即△ACE是等边三角形，
∴∠A=60°。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将直角三角形、轴对称、等边三角形的知识点结合考察，解题的突破口是利用中点和轴对称的性质推导出三边相等的等边三角形，掌握基础几何性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
