2025年经纶学典课时作业八年级数学上册苏科版第36页解析答案——零五网—

请根据以下素材,完成探究任务.
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| 背景材料 | 背景1:中国西汉时期(公元前2世纪),《淮南万毕术》记载:"取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣."这一装置利用平面镜与水面的组合反射,实现了视野的拓展,被视为早期光学探索的重要实践.背景2:古希腊数学家海伦(公元1世纪)在《反射光学》中通过几何方法证明,光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律,且该路径为几何最短距离.17世纪,法国数学学家费马提出费马原理,指出光在传播时总是选择耗时最短的路径,从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论,并将最短路径思想推广至折射等领域. |
| 任务 1：证明反射路径最短 | (1)如图,直线AB代表平面镜,点C代表一实物,点D代表眼睛,作实物C关于平面镜AB的对称点C',连接C'D,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线,ED为反射光线.求证:CE+DE最短.请在横线上填写内容.证明:如图,在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E',连接DE',CE',C'E',在△C'DE'中,C'E'+DE'＞C'D(______),∵点C与点C'关于平面镜AB对称,∴AB垂直平分CC',∴CE= ______,CE'= C'E'(______).∵C'D= C'E+DE,C'E'+DE'＞C'D,∴CE'+DE'＞CE+DE. |

| 任务 2：确定挡板反射范围 | (2)如图,若从点A发出的光线经平面镜l反射后通过空隙BC落到挡板EF上,试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q. |

答案：

(1)三角形的任意两边之和大于第三边 C'E 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2)如图所示,作A关于平面镜l的对称点A',连接A'C,A'B并延长,分别交EF于点P,Q,即为所求.

解析：

【分析】
本题分为两个任务，解题思路如下：
(1) 要证明CE+DE最短，我们利用轴对称将折线段转化为两点之间的线段：首先根据三角形三边关系，任意取平面镜上不同于E的点E'，所得的C'E'+DE'一定大于两点之间的线段C'D；再利用轴对称的性质，将CE、CE'分别转化为其对称线段C'E、C'E'，即可证明任意其他路径的长度都大于CE+DE，从而得证。
(2) 要确定反射光线在EF上的最高点和最低点，根据光的反射规律，反射光线的反向延长线一定经过点A关于平面镜的对称点A'；而反射光线要通过空隙BC，因此边界反射光线为刚好经过空隙两个端点B、C的光线，连接对称点与B、C并延长交EF，所得交点就是要求的P、Q。
【解析】
(1) 证明：在△C'DE'中，三角形的任意两边之和大于第三边，因此C'E'+DE'＞C'D；
因为点C与C'关于AB对称，所以AB是线段CC'的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此CE=C'E，CE'=C'E'；
结合C'D=C'E+DE，可得CE'+DE'=C'E'+DE'＞C'D=CE+DE，因此CE+DE最短。
(2) 解：首先根据平面镜成像的对称性质，作出点A关于平面镜l的对称点A'；
要让反射光线经过空隙BC，最高的反射光线为恰好擦过空隙上端点C的光线，因此连接A'C并延长，与EF的交点就是最高点P；
最低的反射光线为恰好擦过空隙下端点B的光线，因此连接A'B并延长，与EF的交点就是最低点Q。
【答案】
(1) 三角形的任意两边之和大于第三边；C'E；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 作A关于平面镜l的对称点A',连接A'C,A'B并延长,分别交EF于点P,Q,即为所求.

【知识点】
三角形三边关系；轴对称的性质；最短路径问题
【点评】
本题结合物理光的反射背景，考察几何知识的实际应用，既需要熟练掌握三角形、轴对称的基础性质，也需要理解反射路径的等效几何转化，能够有效锻炼跨学科知识融合应用的能力。
【难度系数】
0.7