【分析】
本题已知等腰三角形的两条不相等的边长，未明确哪条是腰、哪条是底，因此首先需要分两种情况分类讨论：①4为腰长，9为底边长；②9为腰长，4为底边长。再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为9，则三角形的三边长为4、4、9。
∵ 4 + 4 = 8 ＜ 9，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴ 此种情况不能构成三角形，舍去。
② 若腰长为9，底边长为4，则三角形的三边长为9、9、4。
∵ 9 + 4 = 13 ＞ 9，9 + 9 = 18 ＞ 4，满足三角形三边关系，
∴ 此种情况可构成三角形，此时周长为9 + 9 + 4 = 22。
综上，这个三角形的周长是22。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的概念；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立，错选C选项，解题时需养成分类讨论后先验证三边合理性的习惯。
【难度系数】
0.6

【分析】
等腰三角形的边分为腰和底边两类，题目未明确边长为9的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①9为腰长；②9为底边长。分别计算对应底边长度后，需根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合要求的情况。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当边长为9的边是腰时：
底边长 = 周长 - 2×腰长 = 21 - 2×9 = 3
此时三角形三边长为9、9、3，验证三边关系：3+9＞9，满足三角形构成条件，底边长为3成立。
2. 当边长为9的边是底边时：
腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (21 - 9)÷2 = 6
此时三角形三边长为6、6、9，验证三边关系：6+6＞9，满足三角形构成条件，底边长为9成立。
综上，等腰三角形的底边长为3或9。
【答案】
3或9
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的基础题型，解题的关键是要有分类讨论的意识，同时注意求出边长后务必用三边关系验证，避免出现无法构成三角形的错误结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先，等腰三角形的两个底角度数相等，题目仅给出两个内角度数比为1:4，未明确说明是顶角与底角的比还是底角与顶角的比，因此需要分两种情况分类讨论，再结合三角形内角和为180°分别计算顶角的度数，最后验证结果是否符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：等腰三角形的顶角与一个底角的度数比为1:4
设顶角度数为$x$，则两个底角的度数均为$4x$
根据三角形内角和为180°，可得：
$x + 4x + 4x = 180°$
解得$x=20°$，即顶角为20°，此时三个内角为20°、80°、80°，符合要求。
情况2：等腰三角形的一个底角与顶角的度数比为1:4
设底角度数为$x$，则顶角度数为$4x$
根据三角形内角和为180°，可得：
$x + x + 4x = 180°$
解得$x=30°$，则顶角度数为$4×30°=120°$，此时三个内角为30°、30°、120°，符合要求。
综上，这个等腰三角形顶角度数为20°或120°。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，易错点为忽略分类讨论，漏算其中一种情况，解题时需注意题目未明确角的类型时，要对可能的情况逐一分析，同时要验证计算结果是否满足三角形的内角要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决这道题需要结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°的定理，重点是要分类讨论“两个内角的度数之和是130°”的两种情况：第一种是这两个角为两个底角，第二种是这两个角为一个顶角和一个底角，分别计算顶角度数后验证是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
已知等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
1. 若和为130°的两个内角是两个底角：
顶角的度数 = 180° - 130° = 50°，此时底角为130°÷2=65°，三个内角分别为50°、65°、65°，符合三角形构成条件，成立。
2. 若和为130°的两个内角是一个顶角和一个底角：
则剩余的角为另一个底角，底角度数 = 180° - 130° = 50°，
顶角的度数 = 130° - 50° = 80°，此时三个内角分别为80°、50°、50°，符合三角形构成条件，成立。
综上，顶角的度数可能是50°或80°。
【答案】
50°或80°
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，解题的关键是不要漏解，要考虑到两个内角和的两种不同情况，算出结果后注意验证是否满足三角形的内角和规律，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求解等腰三角形未知角度数时，需结合等腰三角形“两底角相等”的性质分类讨论：本题未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的角色，因此分三类讨论：①∠A为顶角，②∠A为底角、∠B为顶角，③∠A为底角、∠B为底角，再结合三角形内角和为180°计算即可。
(2) 要使∠B有三个不同度数，首先判断∠A可同时作为顶角和底角的前提：当∠A≥90°时只能作为顶角（否则两底角和≥180°，不符合内角和定理），此时∠B仅1个度数，因此需先满足0＜x＜90；再保证三种情况算出的∠B度数互不相等，排除等边三角形的特殊情况（x=60°时三个角均相等），即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 分三种情况计算：
① 若∠A为顶角，根据等腰三角形两底角相等，得$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$；
② 若∠A为底角，∠B为顶角，得$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×80°=20°$；
③ 若∠A为底角，∠B为底角，得$∠ B=∠ A=80°$。
(2) 分情况讨论：
① 当$90≤ x＜180$时，∠A只能为顶角，此时∠B的度数只有1个，不符合要求；
② 当$0＜x＜90$时，三种情况的∠B分别为：
∠A为顶角时，$∠ B=(\frac{180-x}{2})°$；
∠A为底角、∠B为顶角时，$∠ B=(180-2x)°$；
∠A为底角、∠B为底角时，$∠ B=x°$。
要使∠B有三个不同度数，需三个值互不相等，即$\frac{180-x}{2}≠180-2x$，$180-2x≠ x$，$\frac{180-x}{2}≠ x$，解得$x≠60$。
综上可得符合要求的x的范围。
【答案】
(1) $∠ B=50°$或$20°$或$80°$；
(2) $0＜x＜90$且$x≠60$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查等腰三角形性质的应用，解题关键是根据已知角的位置合理分类讨论，易错点是容易忽略钝角不能作为等腰三角形底角的限制，以及漏排除x=60°时为等边三角形、三个角度相等的特殊情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，核心是对分割得到的两个小等腰三角形的腰的情况分类讨论：①分割后其中一个小等腰三角形以原等腰三角形的腰为腰，另一个小等腰三角形以分割线和底边的一段为腰；②分割后两个小等腰三角形都以分割线和底边的一段为腰，每种情况通过角度关系列方程求解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
第一种情况：如图①，在△ABC中，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠ABC=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD。
∵∠CDA是△ABD的外角，
∴∠CDA=2∠ABC，
∴∠CAB=∠BAD+∠CAD=∠ABC+2∠ABC=3∠ABC。
∵三角形内角和为180°，即∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠ABC=180°，解得∠ABC=36°。
第二种情况：如图②，在△ABC中，
∵AB=AC，AD=BD=CD，
∴∠ABC=∠C=∠DAC=∠DAB。
∴∠BAC=∠DAB+∠DAC=2∠ABC。
∵三角形内角和为180°，即∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴4∠ABC=180°，解得∠ABC=45°。
【答案】
36°或45°
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.三角形内角和定理
3.分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是根据题意梳理出所有可能的分割情况，结合等腰三角形性质和内角和定理建立角度关系求解，易错点是遗漏其中一种分割情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先设等腰三角形的腰长为x cm，一腰上的中线会将腰分为两段长度均为x/2 cm的线段。由于中线是被分成的两部分周长的公共边，因此两部分周长的差值实际就是腰长与底边长的差值，需分两种情况讨论：①腰长比底边长5 cm；②底边长比腰长5 cm。求出对应腰长后，需结合三角形三边关系验证是否能构成三角形，舍去不符合要求的解即可得到最终结果。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为x cm。
∵ 一腰上的中线为两部分周长的公共边，
∴ 两部分周长的差为腰长与底边长的差，即|x - 10| = 5，分两种情况讨论：
1. 当腰长比底边长5 cm时：
x - 10 = 5，解得x=15。
此时三角形三边长为15 cm、15 cm、10 cm，满足15+10＞15，符合三角形三边关系，成立。
2. 当底边长比腰长5 cm时：
10 - x = 5，解得x=5。
此时三角形三边长为5 cm、5 cm、10 cm，5+5=10，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
综上，这个三角形的腰长为15 cm。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形计算的典型题型，解题的关键是排除公共边的干扰，明确周长差的本质是腰长与底边长的差，同时要注意分类讨论后必须验证三边关系，避免出现不符合三角形构成条件的增解。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题需结合等腰三角形的性质分析，由于腰上的中线将周长分为12cm和15cm两部分，未明确哪一部分包含底边，因此需要分两种情况讨论：①腰长与半腰长的和为12cm；②腰长与半腰长的和为15cm。计算出各边长度后，还要用三角形三边关系验证能否构成三角形，排除不符合条件的结果。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$2x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，腰上的中线将腰分为两段长度均为$x\ \mathrm{cm}$的线段，分两种情况讨论：
1. 当$2x + x = 12$时：
解得$x=4$，此时另一部分周长为$x + y = 15$，代入$x=4$得$y=11$。
三角形三边长为$8\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$、$11\ \mathrm{cm}$，验证三边关系：$8+8＞11$，符合三角形构成条件，此时腰长为$8\ \mathrm{cm}$。
2. 当$2x + x = 15$时：
解得$x=5$，此时另一部分周长为$x + y = 12$，代入$x=5$得$y=7$。
三角形三边长为$10\ \mathrm{cm}$、$10\ \mathrm{cm}$、$7\ \mathrm{cm}$，验证三边关系：$10+7＞10$，符合三角形构成条件，此时腰长为$10\ \mathrm{cm}$。
综上，等腰三角形的腰长为8cm或10cm。
【答案】
8或10
【知识点】
等腰三角形的性质，分类讨论思想，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形计算的典型题型，解题关键是根据题意合理分类讨论，同时注意得到边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6