【分析】
要探究AE、CN、BC的数量关系，已知D是BC中点，可通过倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一个图形中：①倍长ED到M，连接CM，先证△CDM≌△BDE，得到CM=BE且CM//BE，可得∠ACM=90°；②结合AF平分∠BAC、ED//AF的条件，推导△CNM为等腰三角形，得到CN=CM，即CN=BE；③最后利用Rt△ABC中30°角所对直角边是斜边一半的性质，将BE拆为AB+AE，代入即可得到三者的数量关系。
【解析】
解：如图，延长ED至点M，使得DM=ED，连接CM。
∵CD=BD，∠CDM=∠BDE，DM=DE，
∴△CDM≌△BDE（SAS），
∴CM=BE，∠M=∠BED，
∴CM//BE，
∴∠ACM=180°−∠BAC=180°−90°=90°。
∵AF平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°。
∵ED//AF，
∴∠CNM=∠CAF=45°，
在△CNM中，∠M=180°−∠CNM−∠ACM=180°−45°−90°=45°，
∴∠CNM=∠M，
∴CN=CM，
∴CN=BE。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠BAC=90°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC。
又
∵BE=AB+AE，即BE−AE=AB，
∴CN−AE=$\frac{1}{2}$BC。
【答案】
$\boldsymbol{CN-AE=\dfrac{1}{2}BC}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题通过倍长中线构造全等三角形实现线段的转化，同时结合了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形等角对等边的性质以及特殊直角三角形的边长关系，构造全等三角形是解题的突破口，需要熟练掌握常见的辅助线作法。
【难度系数】
0.4

【分析】
已知AD是△ABC的高，可得AD⊥BC，要利用AB+BD=DC的条件求∠C，可通过截长补短法构造等腰三角形简化条件：在DC上截取DE=BD，此时AD垂直平分BE，可推出AB=AE，将AB转化为AE，再结合AB+BD=DC的条件可推得AE=CE，得到等腰△AEC，最后利用三角形外角的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
如图，在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE。
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠EAD=∠BAD=40°，∠AEB=∠B=90°−∠BAD=50°。
∵AB+BD=DC，DE+CE=DC，且BD=DE，
∴AB=CE，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C。
∵∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AEB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
【答案】
∠C的度数为25°。
【知识点】
垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的构造辅助线求解角度的问题，通过截长法构造垂直平分线和等腰三角形，将分散的线段和条件转化为相等线段，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质即可求解，熟练掌握这类辅助线的构造思路是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.6

【分析】
题目已知AD是∠BAC的角平分线，要求AC的长度，已知AB和CD的长，我们可以借助角平分线常用的“截长补短”辅助线思路解题：首先在AC上截取和AB相等的线段AE，构造全等三角形将AB转移到AC上，再结合已知的角的倍数关系，推导得到等腰三角形，把CD也转化为AC上的一段，最终通过线段和求出AC的长度。
【解析】
在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC。
在△ABD和△AED中，
$\{\begin{array}{l} AB=AE\\ ∠BAD=∠EAD\\ AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE。
又
∵∠B=2∠ADB，
∴∠AED=2∠ADB。
∵∠BDE=∠ADB+∠ADE=2∠ADB，
∴∠BDE=∠AED，
∴$180°-∠ AED=180°-∠ BDE$，即∠CED=∠EDC，
∴CD=CE，
∴AC=AE+CE=AB+CD=4+7=11。
【答案】
11
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线背景下典型的线段求值题，核心是通过“截长”的辅助线构造全等三角形实现线段转化，再结合角的数量关系推导等腰三角形，得到待求线段和已知线段的和差关系，解题关键是熟练掌握角平分线相关的辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6