9. 如图,在凹四边形ABCD中,∠ADC= 90°,AD= 4,CD= 3,AB= 13,BC= 12,则四边形ABCD的面积为______.
答案：24
解析：
【分析】
要求凹四边形ABCD的面积，可通过添加辅助线AC将其转化为两个三角形的面积差求解。首先，在已知直角的Rt△ADC中，用勾股定理求出AC的长度；再根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形；最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，即可得到凹四边形的面积。
【解析】
解：连接AC。
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，
∴$AC=5$（边长为正，舍去负根）。
在△ABC中，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，
∵$AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
计算面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∵四边形ABCD是凹四边形，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=30-6=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题解题的关键是合理添加辅助线，将不规则的凹四边形转化为两个直角三角形的面积差，需注意区别凹四边形和凸四边形求面积的方法，避免将两个三角形面积直接相加导致错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图,以△ABC的三边为斜边,向外作等腰直角三角形,其面积分别是$S_1,S_2,S_3$,且$S_1= 25,S_2= 16$,当$S_3= $______时,∠ACB= 90°.
答案：9
解析：
【分析】
要使∠ACB=90°，根据勾股定理的逆定理，需满足△ABC中AB²=AC²+BC²。我们首先需要推导出向外作的等腰直角三角形的面积与对应斜边（即△ABC的三边）的关系，再将三边的等量关系转化为三个面积的等量关系，即可求出S₃的值。
【解析】
先推导等腰直角三角形面积与斜边的关系：设等腰直角三角形的斜边长为c，直角边长为a，由勾股定理可得：
$a^2+a^2=c^2$，即$a^2=\frac{c^2}{2}$，
则该等腰直角三角形的面积$S=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×\frac{c^2}{2}=\frac{c^2}{4}$，即$c^2=4S$。
结合题图可知：
$S_1$是以AB为斜边的等腰直角三角形面积，故$AB^2=4S_1$；
$S_2$是以AC为斜边的等腰直角三角形面积，故$AC^2=4S_2$；
$S_3$是以BC为斜边的等腰直角三角形面积，故$BC^2=4S_3$。
当∠ACB=90°时，△ABC为直角三角形，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$，
将上述三边与面积的关系代入得：
$4S_1=4S_2+4S_3$，
两边同时除以4化简得：$S_1=S_2+S_3$，
已知$S_1=25$，$S_2=16$，代入得：
$S_3=S_1-S_2=25-16=9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与等腰直角三角形的面积计算相结合，解题的核心是建立等腰直角三角形斜边与面积的对应关系，将直角三角形三边的等量关系转化为面积的等量关系，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
11. 张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表：
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
| a | $2^2-1$ | $3^2-1$ | $4^2-1$ | $5^2-1$ | ... |
| b | 4 | 6 | 8 | 10 | ... |
| c | $2^2+1$ | $3^2+1$ | $4^2+1$ | $5^2+1$ | ... |
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a= ______,b= ______,c= ______；
(2)猜想：以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形,并证明你的猜想.
答案：（1）$n^{2}-1$ $2n$ $n^{2}+1$
（2）以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形．证明如下：
∵ $a=n^{2}-1$，$b=2n$，$c=n^{2}+1$，
∴ $a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}$，而 $c^{2}=(n^{2}+1)^{2}$，
∴ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形．
解析：
【分析】
(1) 观察数表中a、b、c与n的对应关系：当n取2、3、4、5时，a的值为对应n的平方减1，b的值为对应n的2倍，c的值为对应n的平方加1，据此可归纳出含n的通用代数式。(2) 判断三边能否构成直角三角形，可根据勾股定理的逆定理，先确定最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】
(1) 结合表格数据推导：
当n=2时，$a=2^2-1$，$b=4=2×2$，$c=2^2+1$；
当n=3时，$a=3^2-1$，$b=6=2×3$，$c=3^2+1$；
当n=4时，$a=4^2-1$，$b=8=2×4$，$c=4^2+1$；
……
由此可归纳得：$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$（$n＞1$，n为自然数）。
(2) 猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形，证明如下：
∵$n＞1$，
∴$c=n^2+1＞n^2-1=a$，且$n^2+1-2n=(n-1)^2＞0$，即$c＞b$，因此c是三边中的最长边。
计算两条短边的平方和：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$
计算最长边的平方：
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$
∴$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定以a、b、c为边的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(2) 以a,b,c为边的三角形是直角三角形，证明如上。
【知识点】
规律探究；代数式表示；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合规律探究与勾股定理逆定理的应用，既考查学生从数据中归纳通用规律的归纳能力，也考查利用代数运算验证几何结论的运算能力，解题时需注意完全平方公式的正确展开，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
12. (几何直观·推理能力)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE= 1,BE= 2,CE= 3,求∠AEB的度数.
答案：连接 $EE'$．
∵ △ABE 绕点 B 顺时针旋转 $90^{\circ}$到△$CBE'$的位置，
∴ $\angle EBE'=90^{\circ}$，
∴ △$EBE'$是直角三角形．
∵ △ABE 与△$CBE'$全等，
∴ $AE=CE'=1$，$BE=BE'=2$，$\angle AEB=\angle CE'B$，
∴ $\angle BEE'=\angle BE'E=45^{\circ}$，
∴ $EE'^{2}=2^{2}+2^{2}=8$．又
∵ $EC=3$，
∴ $EC^{2}=E'C^{2}+EE'^{2}$，
∴ △$EE'C$是直角三角形，
∴ $\angle EE'C=90^{\circ}$，
∴ $\angle BE'C=\angle BE'E+\angle EE'C=135^{\circ}$，
∴ $\angle AEB=135^{\circ}$．
解析：
【分析】
解题时首先结合旋转的性质分析，由旋转90°可得到等腰直角△EBE'，同时能将已知的AE转化为CE'，BE转化为BE'，把原本分散的三条已知长度的线段集中到△EE'C中；接下来先利用勾股定理求出EE'的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△EE'C为直角三角形，得到∠EE'C的度数；最后结合等腰直角三角形的底角度数，相加得到∠CE'B的度数，再根据旋转对应角相等的性质，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
连接 $EE'$．
∵ △ABE 绕点 B 顺时针旋转 $90°$到△$CBE'$的位置，
∴ $∠ EBE'=90°$，
∴ △$EBE'$是直角三角形．
∵ △ABE 与△$CBE'$全等，
∴ $AE=CE'=1$，$BE=BE'=2$，$∠ AEB=∠ CE'B$，
∴ $∠ BEE'=∠ BE'E=45°$，
由勾股定理得 $EE'^{2}=BE^{2}+BE'^{2}=2^{2}+2^{2}=8$．
又
∵ $EC=3$，
∴ $E'C^{2}+EE'^{2}=1^{2}+8=9=3^{2}=EC^{2}$，
∴ △$EE'C$是直角三角形，
∴ $∠ EE'C=90°$，
∴ $∠ BE'C=∠ BE'E+∠ EE'C=45°+90°=135°$，
∴ $∠ AEB=∠CE'B=135°$．
【答案】
$135°$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题将旋转的性质与勾股定理、勾股定理的逆定理相结合考查，解题的核心是通过旋转将分散的已知线段转化到同一个三角形中，构造特殊三角形求解，是几何转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
