6. 下列三角形中,一定全等的是( )
A.两个等边三角形
B.一条直角边相等的两个等腰直角三角形
C.两条边分别相等的两个直角三角形
D.一腰和一角分别相等的两个等腰三角形
答案：【解析】：
本题考察的是三角形全等的判定条件。我们需要根据三角形全等的几种判定定理，逐一分析每个选项。
A选项：两个等边三角形。这里只给出了两个三角形都是等边的条件，但没有给出具体的边长或角度信息，因此不能判定两个三角形全等。
B选项：一条直角边相等的两个等腰直角三角形。这里明确给出了两个三角形都是等腰直角三角形，并且有一条直角边相等。根据等腰直角三角形的性质，我们知道它们的另一条直角边也必然相等，且都有一个直角。因此，我们可以根据$SAS$（边角边）判定定理，得出这两个三角形全等。
C选项：两条边分别相等的两个直角三角形。这里只给出了两条边分别相等的条件，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，也没有给出角度信息，因此不能判定两个三角形全等。
D选项：一腰和一角分别相等的两个等腰三角形。这里只给出了一腰和一个角相等的条件，但没有明确这个角是顶角还是底角，也没有给出另一条腰或底边的信息，因此不能判定两个三角形全等。
综上所述，只有B选项满足三角形全等的判定条件。
【答案】：
B
解析：
【分析】
要判断哪组三角形一定全等，首先要回忆三角形全等的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）、HL（斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等）。解题时需要结合特殊三角形的性质，逐一分析每个选项给出的条件是否满足全等判定定理，是否存在不满足全等的特殊情况，最终筛选出正确答案。
【解析】
结合全等三角形判定定理逐个分析选项：
A. 两个等边三角形：等边三角形的三个内角均为60°，但没有给出边长相等的条件，边长不一定相同，因此两个等边三角形不一定全等。
B. 一条直角边相等的两个等腰直角三角形：等腰直角三角形的两条直角边长度相等，且直角为90°，若一条直角边对应相等，则两个三角形的两条直角边都对应相等，两边的夹角是直角也相等，满足SAS全等判定条件，因此一定全等。
C. 两条边分别相等的两个直角三角形：没有明确相等的两条边是直角边还是斜边，若其中一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边相等，此时两个三角形不全等，因此不一定全等。
D. 一腰和一角分别相等的两个等腰三角形：没有明确相等的角是顶角还是底角，若一个三角形的顶角和另一个三角形的底角相等，此时两个三角形的内角对应不相等，不全等，因此不一定全等。
综上，只有B选项的两个三角形一定全等。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定 2. 等腰直角三角形的性质 3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的典型基础题，要求学生熟练掌握全等判定定理，同时要注意特殊三角形相关条件的多种可能性，避免忽略特殊情况造成误判。
【难度系数】
0.7
7. 如图,将$\triangle CDE$中的线段CD绕点C按顺时针方向旋转$90^\circ$后得线段CB,过点B作$BA \perp ED$,交ED的延长线于点A.
(1)求证:$\angle ABC = \angle EDC$；
(2)连接AC,若$DE= AB$,求证:$\triangle ABC \cong \triangle EDC$.
答案：
(1)证明：由旋转性质得，$CD=CB$，$\angle BCD=90^\circ$，
$\because \angle BCD=90^\circ$，
$\therefore \angle BCA+\angle ACD=90^\circ$，
$\because BA\perp ED$，
$\therefore \angle A=90^\circ$，
$\therefore \angle ABC+\angle BCA=90^\circ$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACD$，
$\because \angle EDC+\angle CDE=180^\circ$，$\angle ACD+\angle CDE=180^\circ$，
$\therefore \angle EDC=\angle ACD$，
$\therefore \angle ABC=\angle EDC$；
(2)证明：由
(1)知$\angle ABC=\angle EDC$，$\angle A=90^\circ$，
$\because CD=CB$，$DE=AB$，
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle EDC(SAS)$。
解析：
【分析】
(1) 要证明∠ABC=∠EDC，首先结合旋转的性质可得CD=CB，旋转角∠BCD=90°，再由BA⊥ED得到∠A=90°，利用四边形内角和可推出∠ABC与∠ADC互补，又∠EDC与∠ADC是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可完成证明。
(2) 要证明△ABC≌△EDC，由(1)已经得到一组角相等∠ABC=∠EDC，再结合旋转性质得对应边CB=CD，题目已知DE=AB，刚好满足“边角边”的全等判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质可知，$CD=CB$，$∠ BCD=90°$，
$\because BA⊥ ED$，
$\therefore ∠ A=90°$，
在四边形$ABCD$中，内角和为$360°$，
$\therefore ∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ ADC=360°$，
代入$∠ A=90°$，$∠ BCD=90°$得：$90°+∠ ABC+90°+∠ ADC=360°$，
即$∠ ABC+∠ ADC=180°$，
又$\because ∠ EDC+∠ ADC=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ ABC=∠ EDC$（同角的补角相等）。
(2) 证明：由(1)已证$∠ ABC=∠ EDC$，
由旋转性质得$CB=CD$，
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）,\\∠ ABC=∠ EDC（已证）,\\CB=CD（已证）,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{SAS})$。
【答案】
(1) $∠ ABC = ∠ EDC$，得证；
(2) $△ ABC ≌ △ EDC$，得证。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的SAS判定；补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查旋转的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等、旋转角为定值的特点，结合角的等量关系推导相等条件，再利用边角边定理完成全等证明，解题时要注意证明步骤的逻辑性和规范性。
【难度系数】
0.7
8. (2023·陕西中考)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 50^\circ$,$\angle C= 20^\circ$.过点A作$AE \perp BC$,垂足为E,延长EA至点D,使$AD= AC$.在边AC上截取$AF= AB$,连接DF.求证:$DF= CB$.
答案：证明：在$\triangle ABC$中，$\angle B=50^\circ$，$\angle C=20^\circ$，
$\therefore \angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=110^\circ$。
$\because AE\perp BC$，$\therefore \angle AEC=90^\circ$。
在$\triangle AEC$中，$\angle EAC=180^\circ-\angle AEC-\angle C=70^\circ$。
$\because \angle DAF+\angle FAE=180^\circ$，$\angle BAC+\angle FAE=180^\circ$，
$\therefore \angle DAF=\angle BAC=110^\circ$。
$\because AD=AC$，$AF=AB$，
$\therefore \triangle DAF≌\triangle CAB(SAS)$。
$\therefore DF=CB$。
解析：
【分析】
要证明DF=CB，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DF、CB分别在△DAF和△CAB中，已知条件给出AD=AC、AF=AB，已有两组对应边相等，因此只需证明两组边的夹角∠DAF=∠CAB，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边相等。推导角度时，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再结合平角的性质即可证明∠DAF与∠BAC相等。
【解析】
证明：在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=110°$。
$\because AE⊥ BC$，$\therefore ∠ AEC=90°$。
在$△ AEC$中，$∠ EAC=180°-∠ AEC-∠ C=70°$。
$\because ∠ DAF+∠ EAC=180°$，$∠ BAC+∠ EAC=180°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ BAC=110°$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AC(已知)\\∠ DAF=∠ CAB(已证)\\AF=AB(已知)\end{array} $
$\therefore △ DAF≌△ CAB(SAS)$，
$\therefore DF=CB$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和定理；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是通过角度运算得到全等判定所需的夹角相等的条件，能帮助学生巩固利用全等证明线段相等的解题思路。
【难度系数】
0.75
9. (几何直观·推理能力)如图,$AB= AC$,$AD= AE$,$\angle BAC = \angle DAE= 90^\circ$,$BD与EC$交于点F.求证:
(1)$\triangle ABD \cong \triangle ACE$；
(2)$CE \perp BD$.
答案：
(2)由
(1)得△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC.设 CE 与AD 交点为 O,则∠AOE=∠FOD.
∵∠DAE=90°,
∴∠AEC+∠AOE=90°,
∴∠ADB+∠FOD=90°,
∴∠OFD=90°,即CE⊥BD.
解析：
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要证明$△ ABD ≌ △ ACE$，已知两组对应边相等$AB=AC$、$AD=AE$，只需证明两边的夹角$∠ BAD$和$∠ CAE$相等即可。已知$∠ BAC=∠ DAE=90°$，两个角同时加上公共角$∠ CAD$，即可得到夹角相等，再用边角边（SAS）判定定理就能证明全等。
(2) 要证明$CE ⊥ BD$，即证明两条直线的夹角为$90°$。利用第(1)问全等的结论可得对应角$∠ ADB=∠ AEC$，结合对顶角$∠ AOE=∠ FOD$，在$△ AOE$中$∠ AEC+∠ AOE=90°$，等量代换后可推出$∠ ADB+∠ FOD=90°$，从而得到$∠ OFD=90°$，即可证明垂直。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC（已知）, \\∠ BAD = ∠ CAE（已证）, \\AD = AE（已知）,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE$（SAS）。
(2) 证明：
由(1)得$△ ABD≌△ ACE$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ AEC$。
设$CE$与$AD$的交点为$O$，则$∠ AOE = ∠ FOD$（对顶角相等）。
$\because ∠ DAE = 90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$∠ AEC + ∠ AOE = 90°$（直角三角形两锐角互余），
$\therefore ∠ ADB + ∠ FOD = 90°$（等量代换），
$\therefore ∠ OFD = 180° - (∠ ADB + ∠ FOD) = 90°$，
即$CE ⊥ BD$。
【答案】
(1) $△ ABD ≌ △ ACE$成立；
(2) $CE ⊥ BD$成立。
【知识点】
SAS判定全等；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的典型应用题，解题的核心是通过角的和差关系得到全等所需的等角，再利用全等得到的角的等量关系推导垂直关系，这种“全等推角等，角等推位置关系”的思路在几何证明中非常常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
