【分析】
1. 第一问首先明确圆柱侧面展开为长方形，侧面爬行的最短路径是展开图中A、B两点的线段长度，先计算底面半周长作为展开后两点的水平距离，结合圆柱的高，用勾股定理计算路线二的长度，再和路线一的长度比较即可判断更短的路线。
2. 第二问中路线一的路程为圆柱高度加底面直径，直接代入数值算出a，再和路线二的路程数值比较即可得到b的大小关系。
3. 第三问分别写出两种路线的路程表达式，令二者相等后解方程，即可得到r和h的数量关系，计算时注意π取3。
【解析】
1. 圆柱侧面沿AC展开后，长方形的长等于底面圆周长的一半，宽等于圆柱的高AC。
底面半周长：$\frac{1}{2}πd=\frac{1}{2}×3×6=9$（厘米），展开后A、B两点的水平距离为9厘米，垂直距离为12厘米，根据勾股定理，路线二的长度为：$\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$（厘米）。
因为$15＜18$，所以最短路径是路线二。
2. 路线一的路程为圆柱高度加底面直径，当圆柱高度为3厘米时，$a=3+6=9$（厘米），对比路线二的路程9.49厘米，可得$9＜9.49$，即$x＜y$，所以b为$x＜y$。
3. 由题意可知，路线一的路程为$h+2r$；路线二的路程为展开图中线段长度，底面半周长为$πr=3r$，因此路线二长度为$\sqrt{h^2+(3r)^2}$。
令二者相等：
$h+2r=\sqrt{h^2+(3r)^2}$
两边平方得：$(h+2r)^2=h^2+(3r)^2$
展开整理：$h^2+4hr+4r^2=h^2+9r^2$
消去$h^2$得：$4hr=5r^2$，因为$r≠0$，两边同时除以r得$4h=5r$，即$r=\frac{4}{5}h$。
【答案】
1. 画出蚂蚁爬行的最短路径如图所示:
　　　　　　　　
15 二
2. 9；$x＜y$
3. 当$r=\frac{4}{5}h$时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等。
【知识点】
勾股定理应用；圆柱侧面展开图；最短路径问题
【点评】
本题结合蚂蚁爬行的生活场景，将立体图形的路径问题转化为平面图形的最短路径问题，既考查了空间想象能力，又锻炼了利用勾股定理计算、列方程求解等量关系的能力，能引导学生学会对比分析不同方案的优劣。
【难度系数】
0.7