【分析】
要解决这道题，我们先观察跳蚤跳动的坐标和对应时间的规律：首先列举横纵坐标相等的点(n,n)对应的跳动用时，可发现到达(1,1)用时2=1×2秒，到达(2,2)用时6=2×3秒，到达(3,3)用时12=3×4秒，由此可推导出到达点(n,n)的总用时为n(n+1)秒。接下来计算哪个整数n满足n(n+1)=30，就能得到30秒时跳蚤的位置。
【解析】
我们先整理跳蚤到达特殊点的对应时间，寻找规律：
到达(1,1)，总用时：$1×2=2$秒；
到达(2,2)，总用时：$2×3=6$秒；
到达(3,3)，总用时：$3×4=12$秒；
到达(4,4)，总用时：$4×5=20$秒；
到达(5,5)，总用时：$5×6=30$秒。
题目所求为30秒时跳蚤的位置，刚好对应坐标(5,5)。
【答案】
(5,5)
【知识点】
点坐标规律探究，归纳推理
【点评】
本题是平面直角坐标系中点的运动规律的典型题型，重点考查学生的观察、归纳能力，解题的核心是找到横纵坐标相等的点对应的运动时间规律，匹配所求时间即可快速得到答案。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先观察给出的点的坐标特征，可总结出两条核心规律：①横纵坐标之和相等的点为同一组，横纵坐标和为n的组共有(n+1)个点；②同一组内的点按横坐标从大到小、纵坐标从小到大的顺序排列。接下来先计算所求点(6,7)的横纵坐标之和，确定它所属的分组，再计算它前面所有组的点的总个数，最后确定该点在本组内的排序，两者相加即可得到最终位次。
【解析】
观察点的排列规律：
1. 横纵坐标之和为$k$的点共有$(k+1)$个，且同一组内点的横坐标从$k$依次递减到0，纵坐标从0依次递增到$k$；
2. 点$(6,7)$的横纵坐标之和为$6+7=13$，即该点属于横纵坐标和为13的分组；
3. 计算横纵坐标和从0到12的所有点的总个数（等差数列求和）：
$1+2+3+\dots+13=\frac{(1+13)×13}{2}=91$（个）
4. 横纵坐标和为13的组的点依次为：$(13,0),(12,1),(11,2),(10,3),(9,4),(8,5),(7,6),(6,7)\dots$，可得$(6,7)$是该组的第8个点；
5. 总位次为$91+8=99$。
【答案】
99
【知识点】
点的坐标规律；等差数列求和；归纳推理
【点评】
本题属于坐标规律探究类题型，解题核心是通过观察总结出横纵坐标和相同的点的数量规律，以及同组内点的排列顺序，能够有效考查学生的观察能力和归纳推理能力，解题时需注意确定所求点在组内的位次时不要计数错误。
【难度系数】
0.65

【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先计算矩形ABCD的周长，也就是瓢虫爬行1圈的总路程，这是爬行的周期长度；接着计算第2025秒时瓢虫爬行的总路程，用总路程除以周期长度，得到完整的周期数和剩余爬行路程；最后根据剩余路程判断瓢虫所在的线段，结合该线段上点的坐标特征，计算出对应点的坐标。
【解析】
解：第一步，计算矩形各边长度和周长：
∵点A(-1,1)，B(-1,-2)，横坐标相同，
∴AB的长度为$|1-(-2)|=3$；
∵点B(-1,-2)，C(3,-2)，纵坐标相同，
∴BC的长度为$|3-(-1)|=4$；
同理可得CD=3，DA=4；
∴瓢虫爬行1圈的总路程为$3+4+3+4=14$（单位长度）。
第二步，计算2025秒爬行的总路程：
瓢虫速度为每秒2个单位长度，2025秒的总路程为$2025×2=4050$（单位长度）。
第三步，求周期数和剩余路程：
$4050÷14=289······4$，即爬完289整圈后，还剩余4个单位长度的爬行距离。
第四步，定位点的坐标：
AB段长3个单位，爬完AB段后剩余路程为$4-3=1$，说明瓢虫在BC段上，从B点向右爬行了1个单位。
BC段上所有点的纵坐标均为-2，B点横坐标为-1，向右爬1个单位后横坐标为$-1+1=0$，故对应点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$(0,-2)$
【知识点】
点的坐标计算；周期规律探究；线段长度计算
【点评】
本题属于坐标规律探究类的基础题型，核心是先确定爬行的周期，再通过余数定位瓢虫的位置，结合平行于坐标轴的线段上点的坐标特征即可求解，计算时要注意总路程和余数的准确性。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先分别观察A系列点、B系列点的横、纵坐标的变化特征，找出坐标随变换次数的变化规律：①所有A点的纵坐标恒为4，横坐标是2的幂次，幂次等于变换次数；②所有B点的纵坐标恒为0，横坐标是2的幂次，幂次等于变换次数加1。得到Aₙ、Bₙ的坐标后，再根据三角形面积公式，以OBₙ为底、A点纵坐标为高计算面积即可。
【解析】
(1) 观察A点坐标：$A(1=2^0,4)$，$A_1(2=2^1,4)$，$A_2(4=2^2,4)$，$A_3(8=2^3,4)$，可得第k次变换后$A_k$的横坐标为$2^k$，纵坐标恒为4，因此$A_4$的横坐标为$2^4=16$，坐标为$(16,4)$；
观察B点坐标：$B(2=2^1,0)$，$B_1(4=2^2,0)$，$B_2(8=2^3,0)$，$B_3(16=2^4,0)$，可得第k次变换后$B_k$的横坐标为$2^{k+1}$，纵坐标恒为0，因此$B_4$的横坐标为$2^{4+1}=32$，坐标为$(32,0)$。
(2) 结合(1)的规律，n次变换后，$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为4，即$A_n(2^n,4)$；$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标为0，即$B_n(2^{n+1},0)$。
(3) $△ OA_nB_n$中，底边$OB_n$的长度为$B_n$的横坐标，即$2^{n+1}$，高为$A_n$的纵坐标4，根据三角形面积公式：
$S = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 2^{n+1} × 4 = 2^n × 4 = 2^{n+2}$。
【答案】
(1) $(16,4)$，$(32,0)$
(2) $(2^n,4)$，$(2^{n+1},0)$
(3) $2^{n+2}$
【知识点】
点的坐标规律探究，三角形面积计算，幂的运算
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是分别归纳两类点的坐标变化规律，再结合几何面积公式求解，能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先明确解题思路：①先掌握“两点关于某点对称时，该点是两个对称点的中点”这一性质，利用中点坐标规律推导对称点的坐标；②依次计算前几次操作得到的点坐标，观察坐标的变化规律，找到循环周期；③用100除以周期，根据余数判断$P_{100}$对应循环中的哪个点，即可得出坐标。
【解析】
若两点关于点M对称，则点M是这两点的中点，根据中点坐标规律：若中点坐标为$(x_0,y_0)$，已知一个点坐标为$(x_1,y_1)$，则其对称点坐标为$(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$。
1. 求$P_1$：点P(0,2)关于A(1,1)对称，
$P_1$横坐标：$2×1-0=2$，纵坐标：$2×1-2=0$，即$P_1(2,0)$；
2. 求$P_2$：点$P_1(2,0)$关于B(1,-1)对称，
$P_2$横坐标：$2×1-2=0$，纵坐标：$2×(-1)-0=-2$，即$P_2(0,-2)$；
3. 求$P_3$：点$P_2(0,-2)$关于C(-1,-1)对称，
$P_3$横坐标：$2×(-1)-0=-2$，纵坐标：$2×(-1)-(-2)=0$，即$P_3(-2,0)$；
4. 求$P_4$：点$P_3(-2,0)$关于D(-1,1)对称，
$P_4$横坐标：$2×(-1)-(-2)=0$，纵坐标：$2×1-0=2$，即$P_4(0,2)$；
此时发现$P_4$与初始点P坐标完全相同，说明操作每4次为一个循环，循环组为$P_1,P_2,P_3,P_4$。
计算$100÷4=25$，无余数，说明$P_{100}$与循环组的最后一个点$P_4$重合。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
中心对称坐标计算，周期规律探究，中点坐标公式
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题核心是先通过计算前几个点的坐标找到循环周期，再利用周期推导大数序号对应的点坐标，掌握中心对称的坐标变化规律是解题的基础。
【难度系数】
0.7