8. 「2025贵州贵阳云岩模拟,」如图,在三角形纸片ABC中,AB=6,AC=4,BC=8,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是(
A
)
答案：8.A A.
∵$\frac{CD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{AC}{BC}$,∠C = ∠C,
∴△DAC∽△ABC,符合题意;
B.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{6}≠\frac{AB}{AC}$,
∴△ABD与△ABC不相似;
C.
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}≠\frac{AB}{BC}$,
∴△ABD与△ABC不相似;
D.
∵$\frac{BD}{BC}=\frac{4}{8}≠\frac{AB}{BC}$,
∴△BCD与△ABC不相似.故选A.
9. 「2025广东汕头月考,」如图,在4×1的格子中,每个小正方形的顶点叫做格点,以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形,△ABC就是一个格点三角形,现从格点D,E,F,G中选取一个格点,与点B,C连接成格点三角形,能使该格点三角形与△ABC相似的格点是(
C
)
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案：9.C 如图，连接BF，设每个小正方形的边长为1,则AB = 2,$BC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,CF = 1,$BF=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$,
∴$\frac{BC}{CF}=\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BF}=\sqrt{2}$
∴△ABC∽△BCF.故选C.
10. 「」如图,在△ABC中,∠BAC=45°,BD,CE分别是AC,AB边上的高,连接DE,若BC=2,则DE的长为(
C
)
$A. \sqrt{5}$
$B. \frac{5}{2}$
$C. \sqrt{2}$
$D. \frac{1}{2}$
答案：10.C
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高，
∴∠AEC = ∠ADB = 90°,
∵∠BAC = 45°,
∴△ACE与△ABD都是等腰直角三角形，
∴$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{2}AE$,$AB=\sqrt{AD^{2}+DB^{2}}=\sqrt{2}AD$,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,又
∵∠DAE = ∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵BC = 2,
∴$DE=\sqrt{2}$,故选C.
11. 「2025河北承德兴隆期中,」如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D在边BC上,点E在边AC上,CE=1.6,当BD=
2或4
时,△ABD∽△DCE.
答案：11.答案 2或4
解析 连接AD,DE(图略)，
∵AB = AC,BC = 6,
∴∠B = ∠C,DC = 6 - BD,
当$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$时,△ABD∽△DCE,
∴$\frac{5}{6 - BD}=\frac{BD}{1.6}$,
解得BD = 2或BD = 4.
经检验,BD = 2和BD = 4均为方程的解,故答案为2 或4.
12. 「2025江苏镇江丹阳期末,」如图,在△ABC和△ADE中,DE的延长线经过点C,且$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE},∠1=∠2.$
(1)求证:△ABC∽△ADE.
(2)若AD=4,AB=6,AC=5,求AE的长.
答案：12.解析 (1)证明:
∵∠ACB = ∠1+∠ACD,∠AED = ∠2+∠ACD,且∠1 = ∠2,
∴∠ACB = ∠AED,
∵$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,
∴△ABC∽△ADE.
(2)
∵△ABC∽△ADE,
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$,
∵AD = 4,AB = 6,AC = 5,
∴$AE=\frac{AD· AC}{AB}=\frac{4×5}{6}=\frac{10}{3}$,
∴AE的长是$\frac{10}{3}$.
13. 「2025福建福州鼓楼月考改编,」如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是AD边上一定点,且AE=1.在线段AB上找一点F,使△AEF与△BCF相似,求AF的长.
答案：13.解析 设AF = x,则BF = 4 - x,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A = ∠B = 90°.
当$\frac{AE}{BF}=\frac{AF}{BC}$时,△AEF∽△BFC,
∴$\frac{1}{4 - x}=\frac{x}{3}$,解得x = 1 或x = 3,经检验,x = 1和x = 3均为原方程的解;
当$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{BF}$时,△AEF∽△BCF,
∴$\frac{1}{3}=\frac{x}{4 - x}$,解得x = 1,经检验,x = 1为原方程的解,
综上所述,AF的长为1或3.
方法解读 当两个三角形没有用相似符号连接，仅用文字描述两三角形相似，即没有说明对应关系时，需要分类讨论,如果这两个三角形中有相等的角，则该相等角的顶点一定是对应点.
