7. 阅读材料：如图①，四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ △ AEF $ 是等腰直角三角形，记 $ ∠ BAE $ 为 $ α $，$ ∠ FAD $ 为 $ β $，若 $ \tan α = \frac{1}{2} $，则 $ \tan β = \frac{1}{3} $。
证明：设 $ BE = k $，$ \because \tan α = \frac{1}{2} $，$ \therefore AB = 2k $，易证 $ △ AEB ≌ △ EFC $（AAS），$ \therefore EC = 2k $，$ CF = k $，$ \therefore FD = k $，$ AD = 3k $，$ \therefore \tan β = \frac{DF}{AD} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3} $，$ \therefore $ 当 $ α + β = 45° $ 时，若 $ \tan α = \frac{1}{2} $，则 $ \tan β = \frac{1}{3} $。
同理，当 $ α + β = 45° $ 时，若 $ \tan α = \frac{1}{3} $，则 $ \tan β = \frac{1}{2} $。
根据上述材料，回答下列问题：
如图②，直线 $ y = 3x - 9 $ 与反比例函数 $ y = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A $，与 $ x $ 轴交于点 $ B $。直线 $ AB $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 45° $ 后与 $ y $ 轴交于点 $ E $，过点 $ A $ 作 $ AM ⊥ x $ 轴于点 $ M $，$ AN ⊥ y $ 轴于点 $ N $，已知 $ OA = 5 $。
(1) 求反比例函数的解析式。
(2) 直接写出 $ \tan ∠ BAM $，$ \tan ∠ NAE $ 的值。
(3) 求直线 $ AE $ 的解析式。
答案：7.解析 (1)设A(t,3t - 9),则OM = t,AM = 3t - 9。
∵OA = 5,
∴t² + (3t - 9)² = 5²,解得t = 4或t = 1.4。
∴A(4,3)或A(1.4, - 4.8)(不合题意,舍去)。把A(4,3)代入y = $\frac{m}{x}$,得3 = $\frac{m}{4}$,
∴m = 12,
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{12}{x}$。
(2)tan∠BAM = $\frac{1}{3}$,tan∠NAE = $\frac{1}{2}$。详解如下:在y = 3x - 9中,令y = 0,得0 = 3x - 9,解得x = 3,
∴B(3,0),
∴OB = 3。由(1)知A(4,3),
∴OM = 4,AM = 3,
∴BM = OM - OB = 4 - 3 = 1,
∴tan∠BAM = $\frac{BM}{AM} = \frac{1}{3}$。
∵∠ANO = ∠NOM = ∠OMA = 90°,
∴∠MAN = 90°。
∵∠BAE = 45°,
∴∠BAM + ∠NAE = 45°。由当α + β = 45°时,若tanα = $\frac{1}{3}$,则tanβ = $\frac{1}{2}$可得tan∠NAE = $\frac{1}{2}$。
(3)
∵tan∠NAE = $\frac{1}{2}$,A(4,3),
∴$\frac{NE}{AN} = \frac{1}{2}$,AN = 4,ON = 3,
∴$\frac{NE}{4} = \frac{1}{2}$,
∴NE = 2,
∴OE = ON - NE = 3 - 2 = 1,
∴E(0,1)。设直线AE的解析式为y = kx + b(k ≠ 0),把A(4,3),E(0,1)代入,得$\begin{cases}4k + b = 3\\b = 1\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$,
∴直线AE的解析式为y = $\frac{1}{2}x + 1$。
8. 「2024 黑龙江绥化肇东模拟」如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 9 $，$ BC = 4 $，以点 $ C $ 为圆心，$ 3 $ 为半径作 $ \odot C $，分别交 $ AC $，$ BC $ 于 $ D $，$ E $ 两点，点 $ P $ 是 $ \odot C $ 上一个动点，则 $ \frac{1}{3}PA + PB $ 的最小值为
$\sqrt{17}$
。
答案：8.答案 $\sqrt{17}$
解析 如图,在AC上截取CQ = 1,连接CP,PQ,BQ。
∵AC = 9,CP = 3,
∴$\frac{CP}{AC} = \frac{1}{3}$,$\frac{CQ}{CP} = \frac{1}{3}$。
∵∠ACP = ∠PCQ,
∴△ACP∽△PCQ,
∴PQ = $\frac{1}{3}AP$,
∴$\frac{1}{3}PA + PB = PQ + PB ≥ BQ$。在Rt△BCQ中,BC = 4,CQ = 1,
∴QB = $\sqrt{17}$,
∴$\frac{1}{3}PA + PB$的最小值为$\sqrt{17}$。
9. 如图，四边形 $ ABCD $ 是边长为 $ 4 $ 的正方形，$ \odot B $ 的半径为 $ 2 $，$ P $ 是 $ \odot B $ 上一动点，则 $ PD + \frac{1}{2}PC $ 的最小值为
5
。
答案：9.答案 5
解析 如图,连接PB,在BC上取一点E,使得BE = 1,连接PE,DE。
∵PB = 2,BC =
10. 如图，在边长为 $ 6 $ 的正方形 $ ABCD $ 中，$ M $ 为 $ AB $ 上一点，且 $ BM = 2 $，$ N $ 为边 $ BC $ 上一动点，连接 $ MN $。点 $ B $ 关于 $ MN $ 的对称点为 $ P $，连接 $ PA $，$ PC $，$ PM $，则 $ PA + 2PC $ 的最小值为
。
答案：解：
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，M(4,0)（∵BM=2，AB=6）。
由点B关于MN对称得P，∴PM=BM=2，即点P在以M为圆心，2为半径的圆上。
在MA上取点Q，使MQ=1，得Q(3,0)。
∵PM=2，MA=4，MQ=1，
∴$\frac{PM}{MA}=\frac{MQ}{PM}=\frac{1}{2}$，且∠PMQ=∠AMP，
∴△PMQ∽△MAP，
∴$\frac{PQ}{PA}=\frac{PM}{MA}=\frac{1}{2}$，即PA=2PQ。
则PA+2PC=2(PQ+PC)≥2QC（当Q、P、C共线时取等号）。
计算QC：$QC=\sqrt{(6-3)^2+(6-0)^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$，
∴PA+2PC的最小值为$2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
