25. 「2025 重庆中考」为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，$ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 在同一平面内.$ A $ 是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于 $ A $ 的正东方向 10 千米的 $ B $ 处，乙无人机位于 $ A $ 的南偏西 $ 30° $ 方向 20 千米的 $ D $ 处.两无人机同时飞往 $ C $ 处巡视，$ D $ 位于 $ C $ 的正西方向上，$ B $ 位于 $ C $ 的北偏西 $ 30° $ 方向上.(参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.41 $，$ \sqrt{3} \approx 1.73 $，$ \sqrt{5} \approx 2.24 $，$ \sqrt{7} \approx 2.65 $)
(1) 求 $ BD $ 的长度(结果保留小数点后一位).
(2) 甲、乙两无人机分别从 $ B $，$ D $ 同时出发沿 $ BC $，$ DC $ 往 $ C $ 处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的 2 倍.当两无人机相距 20 千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离 $ B $ 处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)？
答案：25. 解析 (1)如图所示，过点A作AE ⊥ CD于点E，过点B作BF ⊥ CD于点F，
∴ ∠AED = ∠BFC = 90°，由题意得∠DAE = 30°，在Rt△ADE中，AE = AD·cos∠DAE = 20·cos30° = 10$\sqrt{3}$（千米），DE = AD·sin∠DAE = 20·sin30° = 10（千米），由题意得AB // CD，
∴ AE ⊥ AB，BF ⊥ AB，
∴ 四边形AEFB是矩形，
∴ EF = AB = 10千米，BF = AE = 10$\sqrt{3}$千米，
∴ DF = DE + EF = 20千米，在Rt△BFD中，BD = $\sqrt{DF^{2} + BF^{2}}$ = $\sqrt{20^{2} + (10\sqrt{3})^{2}}$ = 10$\sqrt{7}$ ≈ 26.5（千米）。答：BD的长度约为26.5千米。(2)如图所示，设当甲无人机运动到点M处，乙无人机运动到点N处时，连接MN，此时满足MN = 20千米，过点M作MT ⊥ CD于T，
由题意得∠BCF = 90° - 30° = 60°，在Rt△FBC中，BC = $\frac{BF}{\sin∠ BCF}$ = $\frac{10\sqrt{3}}{\sin60°}$ = 20（千米），CF = $\frac{BF}{\tan∠ BCF}$ = $\frac{10\sqrt{3}}{\tan60°}$ = 10（千米），
∴ CD = DF + CF = 30千米，设BM = x千米，则DN = 2x千米，CM = (20 - x)千米，在Rt△CMT中，CT = CM·cos∠MCT = (20 - x)·cos60° = (10 - $\frac{1}{2}$x)千米，MT = CM·sin∠MCT = (20 - x)·sin60° = (10$\sqrt{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$x)千米，
∴ TN = CD - DN - CT = 30 - 2x - (10 - $\frac{1}{2}$x) = (20 - $\frac{3}{2}$x)千米，在Rt△MNT中，由勾股定理得MN² = MT² + NT²，
∴ 20² = (10$\sqrt{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$x)² + (20 - $\frac{3}{2}$x)²，
∴ x = 15 - 5$\sqrt{5}$或x = 15 + 5$\sqrt{5}$（不合题意，舍去），
∴ BM = 15 - 5$\sqrt{5}$ ≈ 3.8（千米）。答：甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
