1. 一个工程队每天铺设管道24米,照这样的工作效率,2天、3天……能铺设管道多少米?
(1) 把下表填写完整。

(2) 根据表中数据,在下图中描出铺设管道的时间和长度所对应的点,再把它们顺次连起来。

(3) 铺设管道的长度和时间成什么比例? 为什么?
(4) 根据图像判断,6天能铺设管道多少米? 铺设管道100米大约需要多少天?
答案:1. (1)48,72,96,120 (2)略 (3)成正比例,因为它们是两个相关联的量,而且比值一定 (4)144米,4天
解析:
【分析】
我们可以分步骤解决这四个小问题:
1. 填写表格时,根据“工作总量=工作效率×工作时间”的关系,用每天铺设的24米分别乘对应的天数,就能得到对应天数的铺设长度;
2. 描点连线时,以时间为横轴、铺设长度为纵轴,根据表格里的每组(时间,长度)数据找到对应坐标点,再依次连接即可;
3. 判断比例关系时,先回忆正比例的定义:两种相关联的量,一种量变化另一种量也随之变化,且它们的比值(商)一定,就成正比例。这里观察铺设长度和时间的变化关系,计算二者的比值是否为定值;
4. 计算6天的铺设长度,直接用工作效率乘天数;求铺设100米所需天数,用总长度除以工作效率后取近似值,也可通过图像对应点判断。
【解析】
(1) 根据工作总量=工作效率×工作时间计算:
2天铺设长度:$24×2=48$(米)
3天铺设长度:$24×3=72$(米)
4天铺设长度:$24×4=96$(米)
5天铺设长度:$24×5=120$(米)
因此表格填写48,72,96,120。
(2) 以时间为横轴,铺设长度为纵轴,依次描出$(1,24)$、$(2,48)$、$(3,72)$、$(4,96)$、$(5,120)$这些点,再用直线顺次连接(过程略)。
(3) 铺设管道的长度和时间成正比例。
理由:铺设长度和时间是两种相关联的量,铺设长度随着时间的变化而变化,且$\frac{铺设长度}{时间}=24$(米/天,为定值),符合正比例的定义,所以二者成正比例。
(4) 6天铺设长度:$24×6=144$(米)
铺设100米所需天数:$100÷24≈4$(天)
【答案】
(1) 48,72,96,120
(2) 略
(3) 成正比例,因为它们是两个相关联的量,而且比值一定
(4) 144米,4天
【知识点】
正比例的判断,工程问题计算,图像描点连线
【点评】
本题综合考查了工程问题的基本公式应用、正比例的意义以及正比例图像的认识,既需要学生掌握工作总量、效率、时间的数量关系,也需要理解正比例的核心特征,能结合图像解决实际问题,属于基础综合题型。
【难度系数】
0.8
2. 运输队向灾区运送120吨救灾物资。
(1) 如果要一次把救灾物资全部运出,卡车的载质量与所需卡车的数量如下表,把表格填写完整。

① 卡车的载质量和所需卡车的数量成什么比例? 为什么?
② 如果用载质量是6吨的卡车来运,一共需要多少辆?
(2) 如果用8辆载质量是2.5吨的卡车来运,运输的次数和所运救灾物资的质量如下表,把表格填写完整。

|次数|1|2|3|4|5|6|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|质量/吨|
2.5
|
5
|
7.5
|
10
|
12.5
|
15
|…|
运输的次数和所运物资的质量成什么比例?
为什么?
(3) 如果用6辆载质量是4吨的卡车来运,多少次能把这批救灾物资运完?
答案:2. (1)24,12 ①成反比例,因为它们是两个相关联的量,而且乘积一定 ②20辆
(2)2.5,5,7.5,10,12.5,15,成正比例,因为它们是两个相关联的量,而且比值一定
(3)5次
解析:
【分析】
本题围绕救灾物资运输问题,考查正反比例的判断及应用,解题关键是明确两种相关联量的关系(乘积一定或比值一定),结合总物资质量固定等条件进行计算:
1. 第(1)问:
填表格:已知总物资120吨,根据“载质量×所需卡车数量=总物资质量”,用120除以对应载质量就能得到所需卡车数量。
判断比例:观察载质量和卡车数量的关系,二者是相关联的量,且它们的乘积(总物资质量)始终固定,符合反比例的定义。
计算6吨卡车数量:用总物资质量120吨除以卡车载质量6吨,即可得到所需车辆数。
2. 第(2)问:
填表格:每次运输的质量固定为2.5吨,运输次数n对应的所运质量为2.5×n,依次计算即可。
判断比例:运输次数和所运物资质量是相关联的量,所运质量÷运输次数=每次运输的质量(固定值),比值一定,符合正比例的定义。
3. 第(3)问:先计算6辆载质量4吨的卡车一次能运输的总质量,再用总物资120吨除以每次运输量,得到运输次数。
【解析】
(1) ① 填写表格:
当载质量为5吨时,所需卡车数量:$120÷5=24$(辆)
当载质量为10吨时,所需卡车数量:$120÷10=12$(辆)
② 判断比例:
卡车的载质量和所需卡车的数量成反比例。
理由:卡车的载质量变化时,所需卡车的数量也随之变化,二者是相关联的量,且载质量×所需卡车数量=120吨(总物资质量,一定),乘积一定,所以成反比例。
③ 载质量6吨的卡车数量:$120÷6=20$(辆)
(2) 填写表格:
1次运输质量:$2.5×1=2.5$(吨)
2次运输质量:$2.5×2=5$(吨)
3次运输质量:$2.5×3=7.5$(吨)
4次运输质量:$2.5×4=10$(吨)
5次运输质量:$2.5×5=12.5$(吨)
6次运输质量:$2.5×6=15$(吨)
判断比例:
运输的次数和所运物资的质量成正比例。
理由:运输次数变化时,所运物资的质量也随之变化,二者是相关联的量,且所运物资质量÷运输次数=2.5吨(每次运输质量,一定),比值一定,所以成正比例。
(3) 计算6辆载质量4吨的卡车一次运输总质量:$6×4=24$(吨)
运输次数:$120÷24=5$(次)
【答案】
(1)24,12 ①成反比例,因为它们是两个相关联的量,而且乘积一定 ②20辆
(2)2.5,5,7.5,10,12.5,15;成正比例,因为它们是两个相关联的量,而且比值一定
(3)5次
【知识点】
反比例的判断与应用、正比例的判断与应用、整数乘除法应用
【点评】
本题通过实际运输场景,考查正反比例的核心概念,同时结合整数乘除法解决实际问题,帮助学生理解正反比例在生活中的应用,理清数量关系是解题关键。
【难度系数】
0.6