2.综合与实践
【活动背景】数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发,决定在数学实验室中,利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头开展数学实践活动.
【活动任务】任务一:常规容器的函数探究
(1)如图,有三种不同形状的容器,向这三种容器中匀速注水,恰好注满时停止.已知注水前图①的容器中有200 mL的水,图②的容器中有100 mL的水,图③的容器中没有水,是空的.图①和图②的注水速度均为5 mL/s,图③的注水速度为10 mL/s.设容器中水的体积为$y$(单位:mL),注水时间为$x$(单位:s).请直接写出三个容器中$y$关于$x$的函数解析式.
任务二:特殊容器的图象与取值范围探究
(2)如图④,同学们自己制作了一个特殊的容器,这个特殊容器由上、下两个高度相同的圆柱组合而成,且上圆柱底面圆的半径是下圆柱底面圆的半径的一半.已知这个特殊容器的高为20 cm.注水前,容器内的水面高度是4 cm,现向容器匀速注水,直至容器恰好注满时停止,每5 s记录一次水面的高度$h$(单位:cm),前5次数据如下表所示.
①写出水面高度$h$关于注水时间$t$的函数解析式和取值范围,并在如图⑤所示的平面直角坐标系中,画出函数图象;
②当水面高度$h$满足$6≤ h≤ 16$时,求注水时间$t$的取值范围.
答案：2.解:(1)根据题意得,图①容器中,$y=5x+200$;
图②容器中,$y=5x+100$;图③容器中,$y=10x$.
(2)①由题意知,两个圆柱的高都为10 cm,
由表知,时间每增加5 s,高度增加1 cm,
当下圆柱注满水时,所用时间为$(10-4)×5=30$(秒),
$\therefore$当$0 ≤ t ≤ 30$时,$h=\dfrac{1}{5}t+4$.
$\because$下圆柱的底面圆的半径是上圆柱的底面圆的半径的
2倍,
$\therefore$上圆柱的底面积是下圆柱的底面积的$\dfrac{1}{4}$,
$\therefore$上圆柱中,时间每增加$\dfrac{5}{4}$s,$h$增加1 cm,
$\therefore$上圆柱注满水时,$t=30+\dfrac{5}{4}×10=42.5$(s),
$\therefore$当$30 ＜ t ≤ 42.5$,$h=\dfrac{4}{5}(t-30)+10=\dfrac{4}{5}t-14$,
$\therefore h=\begin{cases} \dfrac{1}{5}t+4(0 ≤ t ≤ 30),\\ \dfrac{4}{5}t-14(30 ＜ t ≤ 42.5).\\ \end{cases}$
函数图象如答图.
②将$h=6$代入$h=\dfrac{1}{5}t+4$中,解得$t=10$,
将$h=16$代入$h=\dfrac{4}{5}t-14$中,解得$t=37.5$,
$\therefore$注水时间$t$的取值范围是$10 ≤ t ≤ 37.5$.
