7. (2025·咸阳期中)一个三角形的三边长的比为$3:4:5$,且其周长为36 cm,则其面积为
54$cm^{2}$
.
答案：7. 54$cm^{2}$
8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$AC=13$,$BC$边上的中线$AD=6$,则$△ ABD$的面积是
15
.
答案：8. 15
9. 如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中$AB=BC$,由于某种原因,由C到B的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D(A,D,B在同一条直线上),并新修一条路CD,测得$AC=6.5$千米,$CD=6$千米,$AD=2.5$千米.
(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路? 请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线BC的长.
答案：9.解:(1)CD是从村庄C到河边最近的路.理由如下:
∵$CD^{2}+AD^{2}=6^{2}+2.5^{2}=42.25$,$AC^{2}=6.5^{2}=42.25$,
∴$CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}$,
∴△ADC为直角三角形,且∠ADC=90°,即CD⊥AB,
∴CD是从村庄C到河边最近的路.
(2)设BC=x千米,则BD=(x-2.5)千米,
由勾股定理,得$6^{2}+(x-2.5)^{2}=x^{2}$,解得x=8.45.
答:原来的路线BC的长为8.45千米.
10. (2025·常熟期中)在学校组织的研学活动中,需要学生自己搭建帐篷.如图是搭建帐篷的示意图.在$△ ABC$中,支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上,且$AD⊥ BC$于点D,经测量得:$AB=2\ \mathrm{m}$,$AD=1.2\ \mathrm{m}$,$CD=0.9\ \mathrm{m}$.按照要求,帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角.请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件.
答案：10.解:学生搭建的帐篷符合条件,理由:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1.2^{2}}=1.6(m)$.
在Rt△ADC中,$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1.2^{2}+0.9^{2}}=1.5(m)$,
∵BC=BD+CD=1.6+0.9=2.5(m),
∴$AB^{2}+AC^{2}=2^{2}+1.5^{2}=6.25$,$BC^{2}=2.5^{2}=6.25$.
∴$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$.
∴∠BAC=90°.
∴学生搭建的帐篷符合条件.
