8. (2025·锡山区期中)如图,在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点P在AC上运动,以CE
为边向外作正方形CFGE,连接PD,PG.若$BC=2$,则$PD+PG$的最小值为
$\sqrt{10}$
.
第8题图 第9题图
答案：8. $\sqrt{10}$
9. (2024·南通)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=5$,正方形DEFG的边长为$\sqrt{5}$,它的
顶点D,E,G分别在$△ ABC$的边上,则BG的长为
$3\sqrt{2}$
.
答案：9. $3\sqrt{2}$
10. (2025·长沙)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且$BE=DF$.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形；
(2)连接EF,若$BC=12$,$BE=5$,求EF的长.
答案：10.(1)证明:在正方形ABCD中,AB=CD,AB//CD.
∵BE=DF,
∴AB−BE=CD−DF,
∴AE=CF.
又
∵AB//CD,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:过点E作EH⊥CD于点H,如答图.
∴∠EHC=∠EHF=90°.
∵四边形ABCD是正方形,BC=12,
∴AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠BCD=90°,
∴∠EHC=∠B=∠BCD=90°,
∴四边形EBCH是矩形,
∴EH=BC=12,CH=BE=5,
∴DH=CD−CH=12−5=7.
∵BE=DF=5,
∴HF=DH−DF=7−5=2.
在Rt△EFH中,由勾股定理,得$EF=\sqrt{EH^{2}+HF^{2}}=$
$\sqrt{12^{2}+2^{2}}=2\sqrt{37}$.
11. (2025·海淀区模拟)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,AB上,且$AE=BF$,连接
CE,DF相交于点M.
(1)当$∠ ADF=35°$时,$∠ DCE=$
35
$°$；
(2)判断CE与DF的关系,并证明.
模型积累
正方形的垂直模型
图形
条件 正方形ABCD中,$OE⊥ OF$ 正方形ABCD中,$AE⊥ EF$ 正方形ABCD中,$CF⊥ BE$
结论 $△ AOE≌△ BOF$,$△ BOE≌△ COF$ $AE=EF$ $△ BCE≌△ CDF$,$BE=CF$
答案：11.(1)35
(2)解:CE=DF,CE⊥DF.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=CD,∠A=∠ADC=90°.
∵AE=BF,
∴AB−BF=AD−AE,即AF=DE.
在△ADF和△DCE中,$\{\begin{array}{l} AD=DC,\\ ∠A=∠EDC,\\ AF=DE,\end{array} $
∴△ADF≌△DCE(SAS).
∴CE=DF,∠ADF=∠DCE.
又
∵∠ADF+∠CDF=90°,
∴∠DCE+∠CDF=90°.
∴∠DMC=90°.
∴CE⊥DF.
综上,CE=DF,CE⊥DF.
