1. 阅读数学教材83页,解决问题:
阅读理解:德国著名的天文学家开普勒说过:"几何学里有两个宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿,那么可以把黄金分割比作钻石矿."
(1)如图①,点C把线段AB分成两部分,如果$\frac{CB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈0.618$,那么称点C为线段AB的黄金分割点.若AB=12,则AC=
6√5-6
.(保留根号)
(2)宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)
第一步,在矩形纸片的一端,利用图②的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步,如图③,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,如图④,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图④中所示的AD处.
第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使$DE⊥ND$,则图⑤中就会出现黄金矩形.
问题解决:
①图④中,AB=
√5
;(保留根号)
②请写出图⑤中所有的黄金矩形,并证明;
③请结合图⑤,在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并证明.
答案：1. (1)$6\sqrt{5}-6$
(2)①$\sqrt{5}$
②解:黄金矩形为矩形BCDE、矩形MNDE.
证明:$\because AD=AB=\sqrt{5}$,$AN=AC=1$,
$\therefore CD=AD-AC=\sqrt{5}-1$.
$\because BC=2$,$\therefore \dfrac{CD}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore$矩形BCDE是黄金矩形.
$\because AN=1$,$AD=\sqrt{5}$,$\therefore DN=\sqrt{5}+1$.
$\because \dfrac{MN}{DN}=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore$矩形MNDE是黄金矩形.
③解:如答图.
在矩形BCDE上添加线段GH,使四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形.
证明:$\because CD=GH=DH=\sqrt{5}-1$,$DE=MN=2$,
$\therefore EH=DE-DH=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$,
$\therefore \dfrac{EH}{GH}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore$四边形BGHE为黄金矩形.
