【分析】
(1) 折叠类角度问题首先利用折叠前后对应角相等的性质，本题两次折叠分别得到∠APM=∠A'PM、∠BPN=∠B'PN，AB为直线对应平角180°，即四个角之和为180°，代入相等关系即可求出∠MPN的度数。
(2) ① 由(1)可得∠APM+∠BPN=90°，结合“巧角”的定义（两角差的绝对值为30°），将∠BPN用90°-∠APM替换，列绝对值方程即可求解。
② 仍利用折叠对应角相等的性质，已知∠APM＞∠BPN且二者为巧角，可得∠APM=∠BPN+30°，设∠BPN为β，用β表示∠APM。接下来分两种情况讨论折叠后图形的位置：若两个折叠小三角形无重叠，两个两倍角加∠A'PB'等于平角180°；若有重叠，两个两倍角减重叠部分∠A'PB'等于平角180°，分别列方程求出β后，再计算∠BPA'的度数即可。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：$∠ APM=∠ A'PM=\frac{1}{2}∠ APA'$，$∠ BPN=∠ B'PN=\frac{1}{2}∠ BPB'$，
∵AB为直线，$∠ APA'+∠ BPB'=180°$，
∴$∠ MPN=∠ A'PM+∠ B'PN=\frac{1}{2}(∠ APA'+∠ BPB')=\frac{1}{2}×180°=90°$。
(2) ① 由(1)得$∠ MPN=90°$，因此$∠ APM+∠ BPN=180°-∠ MPN=90°$，即$∠ BPN=90°-∠ APM$，
∵$∠ APM$和$∠ BPN$是一组“巧角”，
∴$|∠ APM-∠ BPN|=30°$，
代入得$|∠ APM-(90°-∠ APM)|=30°$，即$|2∠ APM-90°|=30°$，
当$2∠ APM-90°=30°$时，解得$∠ APM=60°$；
当$2∠ APM-90°=-30°$时，解得$∠ APM=30°$。
② 由折叠性质可知：$∠ A'PM=∠ APM$，$∠ B'PN=∠ BPN$，
∵$∠ APM$和$∠ BPN$是一组“巧角”，且$∠ APM＞∠ BPN$，
∴$∠ APM-∠ BPN=30°$，设$∠ BPN=β$，则$∠ APM=β+30°$，分两种情况讨论：
i) 当$△ PMA'$和$△ PNB'$没有重叠部分时，如答图①，
∵$∠ A'PB'=16°$，$∠ APB=180°$，
∴$2∠ APM+2∠ BPN+∠ A'PB'=180°$，
代入得$2(β+30°)+2β+16°=180°$，解得$β=26°$，
∴$∠ BPA'=2∠ BPN+∠ A'PB'=2×26°+16°=68°$；
ii) 当$△ PMA'$和$△ PNB'$有重叠部分时，如答图②，
此时重叠部分为$∠ A'PB'$，因此$2∠ APM+2∠ BPN-∠ A'PB'=180°$，
代入得$2(β+30°)+2β-16°=180°$，解得$β=34°$，
∴$∠ BPA'=2∠ BPN-∠ A'PB'=2×34°-16°=52°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) ① $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{60°}$；② $\boldsymbol{68°}$或$\boldsymbol{52°}$

【知识点】
图形折叠的性质，角度和差计算，新定义理解
【点评】
本题结合折叠性质与新定义“巧角”考查角度计算，解题时需要分类讨论折叠后两个图形的位置关系，避免漏解，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）遇到平行线间存在拐点的角度问题，常用方法是过拐点作已知直线的平行线，本题中已有平行于AB、CD的直线MN，可根据平行线内错角相等的性质，将∠BPD拆分为两个分别与∠ABP、∠CDP相等的角，即可推导三者的数量关系。
（2）①图②仍是平行线间的拐点问题，过点P作AB的平行线，结合平行线的性质即可推导三个角的数量关系；②图③可利用平行线拐角模型的角度规律，结合已知角度直接计算∠BAE的度数。
（3）先根据角平分线的定义得到对应相等的角，再利用探究一得到的平行线拐角角度关系，分别用拆分的小角表示∠P和∠F，代入∠P=2∠F的条件化简，最后结合平角的定义即可求出∠FME的度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ BPD=∠ ABP+∠ CDP}$，理由如下：
$\because AB// MN// CD$，
$\therefore ∠ BPN=∠ ABP$（两直线平行，内错角相等），$∠ DPN=∠ CDP$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BPN+∠ DPN=∠ ABP+∠ CDP$，
即$∠ BPD=∠ ABP+∠ CDP$。
(2) ①过点P作平行于AB的辅助线，结合$AB// CD$，根据平行线内错角相等的性质可推得：$\boldsymbol{∠ AMP=∠ P+∠ CNP}$；
②根据平行线拐角模型的角度规律，计算得$∠ BAE=25°+(180°-60°)=145°$。
(3) 解：$\because$射线ME，NF分别平分$∠ BMP$和$∠ CNP$，
$\therefore ∠ PME=\frac{1}{2}∠ PMB$，$∠ CNF=∠ PNF$，
由探究一的结论，得$∠ P=∠ AMP+∠ CNP=∠ AMF+∠ PMF+∠ CNF+∠ PNF$，$∠ F=∠ AMF+∠ CNF$，
$\because ∠ P=2∠ F$，
$\therefore ∠ AMF+∠ PMF+∠ CNF+∠ PNF=2∠ AMF+2∠ CNF$，
又$\because ∠ CNF=∠ PNF$，
$\therefore ∠ AMF+∠ PMF=2∠ AMF$，即$∠ PMF=∠ AMF=\frac{1}{2}∠ AMP$，
$\therefore ∠ PMF+∠ PME=\frac{1}{2}(∠ AMP+∠ PMB)$，
$\because ∠ AMP+∠ PMB=∠ AMB=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ FME=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BPD=∠ ABP+∠ CDP}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ AMP=∠ P+∠ CNP}$；$\boldsymbol{145}$；
(3) $\boldsymbol{∠ FME=90°}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题围绕平行线中的拐角模型展开考查，解题的核心是掌握“过拐点作平行线”的常用辅助线作法，通过构造平行线将分散的角建立数量联系，同时结合角平分线、平角的性质进行推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6