【分析】
解题时首先观察已知条件，在Rt△ABC中已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边AC的长度；得到AC、AD、CD三条线段的长度后，可通过勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，验证其是否为直角三角形；最后因为E是CD中点，若△ACD是直角三角形，即可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出AE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\because AB=3,BC=4$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\because AD=12,CD=13$，
$AC^2+AD^2=5^2+12^2=169$，$CD^2=13^2=169$，
$\therefore AC^2+AD^2=CD^2$，$\therefore ∠ DAC=90°$，即$△ACD$是直角三角形，
$\because E$是$CD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×13=6.5$。
【答案】
$6.5$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的基础综合题，解题关键是先利用勾股定理求出AC的长，再通过逆定理证明△ACD为直角三角形，最后结合直角三角形的性质求解，考查了学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 解题核心是抓住秋千绳索长度不变这一隐含条件。首先利用矩形对边相等的性质得CE=BF，结合DE的长度求出CD的长度；设绳索长度为x m，可表示出AC的长度，再在Rt△ACB中用勾股定理列一元一次方程，解方程即可求得秋千长度。
(2) 先根据新的踏板离地高度求出此时CD的长度，进而得到AC的长度，再次利用勾股定理即可求出水平推送的距离。
【解析】
(1) 由题意得四边形BCEF为矩形，因此$CE=BF=2.7\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=CE-DE=2.7-0.7=2(\mathrm{m})$
设秋千的长度$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AD=AB=x\ \mathrm{m}$，$AC=AD-CD=(x-2)\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，$BC=4\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入得$(x-2)^2+4^2=x^2$
展开化简得$-4x+20=0$，解得$x=5$
即秋千的长度为$5\ \mathrm{m}$。
(2) 当踏板离地垂直高度为$1.7\ \mathrm{m}$时，此时对应$CE=1.7\ \mathrm{m}$，
则$CD=1.7-0.7=1(\mathrm{m})$，
$\therefore AC=5-1=4(\mathrm{m})$，
设此时推送距离为$y\ \mathrm{m}$，在直角三角形中由勾股定理得：
$4^2+y^2=5^2$，
解得$y^2=9$，$\because y＞0$，$\therefore y=3$
即需要往前推送$3\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，利用绳索长度不变的条件构造方程求解，侧重考查学生的知识应用能力和建模思想。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)要证明$a^2+b^2=c^2$，可采用面积法：观察弦图可知大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，分别表示出各部分面积，化简后即可推导出勾股定理。
(2)要求$(a+b)^2$的值，先根据已知的大、小正方形面积求出$(b-a)^2$和$ab$的值，再结合完全平方公式的变形$(a+b)^2=(b-a)^2+4ab$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 由图可得：大正方形的边长为$c$，面积为$c^2$；
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$。
根据面积等量关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，可得：
$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$
化简左边：$2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$，
因此$a^2+b^2=c^2$，得证。
(2) 由题意可知：大正方形面积为6，小正方形面积为2，
因此小正方形面积$(b-a)^2=2$，
4个直角三角形的总面积为$6-2=4$，即$4×\frac{1}{2}ab=4$，
化简得$2ab=4$，即$ab=2$。
根据完全平方公式变形：$(a+b)^2=(b-a)^2+4ab$，
代入数值计算得：
$(a+b)^2=2+4×2=10$
【答案】
(1) 已证$a^2+b^2=c^2$；
(2) $\boldsymbol{(a+b)^2=10}$
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 完全平方公式
3. 面积法的应用
【点评】
本题以弦图为载体，考查勾股定理的推导和完全平方公式的变形应用，利用“整体面积等于各部分面积之和”建立等量关系是解题核心，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 首先计算CD的长度，结合已知的BD、BC边长，利用勾股定理逆定理判断△BCD是直角三角形，得到∠BDC=90°，进而推出∠ADB=90°，确定△ABD为直角三角形；再用勾股定理计算斜边AB的长度，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出DE的长。
(2) 根据“点到直线的距离中垂线段最短”的性质，可知当DE⊥AB时，DE的长度最小；此时利用△ABD面积的两种不同表示方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，即可求出DE的最小值。
【解析】
(1) 计算CD的长度：$CD = AC - AD = 21 - 16 = 5$，
在$△ BCD$中，$CD=5$，$BD=12$，$BC=13$，
$\because 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，即$CD^2 + BD^2 = BC^2$，
$\therefore △ BCD$是直角三角形，且$∠ BDC = 90°$，
$\therefore ∠ ADB = 180° - ∠ BDC = 90°$，即$△ ABD$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20$，
$\because E$是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore DE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 20 = 10$。
(2) 根据垂线段最短的性质，当$DE ⊥ AB$时，DE的长度最小，
此时$△ ABD$的面积可表示为：$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · AD · BD = \frac{1}{2} · AB · DE$，
代入数值可得：$\frac{1}{2} × 16 × 12 = \frac{1}{2} × 20 × DE$，
化简解得：$DE = \frac{16 × 12}{20} = \frac{48}{5}$，
即线段DE长度的最小值为$\frac{48}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{\dfrac{48}{5}}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；直角三角形斜边中线性质；等面积法求高
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题的突破口是先通过勾股定理逆定理判定直角三角形，再结合直角三角形的性质和最值原理求解，既考查了基础定理的应用，也考查了等面积法的灵活运用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决第一问时，先利用勾股定理求出AC的长度，当PA=PB时，PA、PB长度均等于运动路程t，可表示出PC的长度，再在Rt△PCB中利用勾股定理列方程即可求解t。
第二问需分类讨论△BCP为等腰三角形的三种情况：①BP=BC；②CP=CB；③PC=PB，分别计算每种情况下点P运动的总路程，结合速度1cm/s即可求出对应t值，注意不要漏解。
【解析】
解：(1) 在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$。
当$PA=PB$时，$PA=PB=t\ \mathrm{cm}$，则$PC=AC-PA=(8-t)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△PCB$中，由勾股定理得$PC^2+CB^2=PB^2$，
代入得：$(8-t)^2+6^2=t^2$，
展开化简得$16t=100$，解得$t=\frac{25}{4}$。
(2) 分三种情况讨论：
① 如答图①，当$BP=BC=6\ \mathrm{cm}$时，$△BCP$为等腰三角形，
点P运动的总路程为$AC+CB+BP=8+6+6=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore t=20÷1=20$；
② 如答图②，当$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$时，过点C作$CD⊥AB$于点D，
由等面积法$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入得$CD=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6\ \mathrm{cm}$，
$\because CP=CB,CD⊥AB$，$\therefore PB=2BD=7.2\ \mathrm{cm}$，
点P运动的总路程为$AC+CB+BP=8+6+7.2=21.2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore t=21.2÷1=21.2$；
③ 如答图③，当$PC=PB$时，过点P作$PD⊥BC$于D，可得D为BC中点，即P为AB中点，
$\therefore BP=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$，
点P运动的总路程为$AC+CB+BP=8+6+5=19\ \mathrm{cm}$，
$\therefore t=19÷1=19$。
综上所述，$t$为19或20或21.2时，$△BCP$为等腰三角形。
【答案】
(1) $t=\frac{25}{4}$；
(2) $t$的值为19或20或21.2。

【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论
【点评】
本题是勾股定理结合动点、等腰三角形的综合题，解题核心是对等腰三角形的情况分类讨论避免漏解，同时需熟练运用勾股定理、等面积法求解直角三角形边长，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6