【分析】
(1) 利用非负数的性质：平方和算术平方根均为非负数，两者相加为0则各自为0，即可求出a、c的值；观察可知BC平行于x轴，以BC为底，BC到点A的竖直距离为高，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 用待定系数法求出直线AC的解析式，得到AC与y轴交点D的坐标，算出BD的长度后，以BD为底、点C的横坐标为高计算△BCD的面积。
(3) 分三种情况讨论点M的位置：M在线段OB上、M在点B上方、M在点O下方，分别表示出两个三角形的面积，根据面积相等列方程求解，舍去不符合题意的解。
(4) 过N作平行于x轴的直线l，先根据△BCN和△AON的面积关系求出N的纵坐标，再求出直线l与AB、OC的交点坐标，最后根据△OCN和△ABN的面积关系求出N的横坐标。
【解析】
(1) 解：$\because (a+2)^2≥0$，$\sqrt{c-4}≥0$，且$(a+2)^2+\sqrt{c-4}=0$，
$\therefore a+2=0$，$c-4=0$，解得$a=-2$，$c=4$。
由$B(0,4)$、$C(4,4)$得$BC// x$轴，$BC=4$，BC边上的高为4，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$。
(2) 解：设直线$AC$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(-2,0)$、$C(4,4)$代入得：
$\begin{cases} -2k+b=0 \\4k+b=4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\frac{2}{3} \\b=\frac{4}{3} \end{cases}$，
$\therefore$直线$AC$的解析式为$y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$，
令$x=0$，得$y=\frac{4}{3}$，即$D(0,\frac{4}{3})$，
$\therefore BD=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×4=\frac{16}{3}$。
(3) 解：分三种情况讨论：
①当点$M$在线段$OB$上时，$BM=4-m$，$OM=m$，
$\because S_{△ BCM}=S_{△ AOM}$，
$\therefore \frac{1}{2}×4×(4-m)=\frac{1}{2}×2× m$，解得$m=\frac{8}{3}$；
②当点$M$在点$B$上方时，$BM=m-4$，$OM=m$，
同理得$\frac{1}{2}×4×(m-4)=\frac{1}{2}×2× m$，解得$m=8$；
③当点$M$在点$O$下方时，$BM=4-m$，$OM=-m$，
同理得$\frac{1}{2}×4×(4-m)=\frac{1}{2}×2×(-m)$，解得$m=8$，不符合条件，舍去。
综上，$m$的值为$\frac{8}{3}$或$8$。
(4) 解：如答图，过点$N$作直线$l// x$轴，交$AB$于点$E$，交$y$轴于点$F$，交$OC$于点$G$。
$\because S_{△ BCN}=2S_{△ AON}$，
$\therefore \frac{1}{2}BC· BF=2·\frac{1}{2}AO· OF$，即$\frac{1}{2}×4×(4-OF)=2×\frac{1}{2}×2× OF$，解得$OF=2$，
$\therefore$点$N$的纵坐标为$2$。
设点$E$的坐标为$(e,2)$，$S_{△ ABO}=S_{△ AOE}+S_{△ BOE}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×4× EF=\frac{1}{2}×2×4$，解得$EF=1$，
$\therefore E(-1,2)$，同理得$G(2,2)$，$\therefore EG=3$。
$\because S_{△ OCN}=2S_{△ ABN}$，
$\therefore \frac{1}{2}× NG×2+\frac{1}{2}× NG×2=2[\frac{1}{2}(3-NG)×2+\frac{1}{2}×(3-NG)×2]$，
解得$NG=2$，$\therefore N(0,2)$。
【答案】
(1) $a=-2$，$c=4$，$S_{△ ABC}=8$；
(2) $S_{△ BCD}=\frac{16}{3}$；
(3) $m$的值为$\frac{8}{3}$或$8$；
(4) 点$N$的坐标为$(0,2)$，答图：
【知识点】
非负数的性质，一次函数的应用，坐标与图形面积
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中坐标求解、一次函数解析式确定、三角形面积计算等内容，解题需用到分类讨论、数形结合的思想，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
