【分析】
(1) 已知△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可直接判断AP与BC的位置关系；
(2) 先由同角的余角相等推出∠ABE=∠CAF，结合AB=AC、两组直角相等，证明△ABE≌△CAF，得到BE=AF、CF=AE，再通过线段和的关系等量代换即可得到三条线段的数量关系；
(3) 先借助(2)的全等结论得到AE=CF，再结合等腰直角三角形的底角为45°，推出∠EAM=∠FCP，结合直角相等证明△AEM≌△CFP，即可得到与CP相等的线段；
(4) 先计算△ABC的面积，再将△ABC的面积拆分为△APB和△APC的面积和，用AP、d₁、d₂表示面积，进而推出d₁+d₂与AP成反比，根据垂线段最短找到AP的最小值，代入即可得到d₁+d₂的最大值。
【解析】
(1)
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，
∵P与D重合，
∴AP⊥BC。
(2)
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠E=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，又
∵∠BAE+∠CAF=∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases} ∠E=∠AFC \\ ∠ABE=∠CAF \\ AB=AC \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，CF=AE。
∵AE=AF+EF，
∴CF=BE+EF。
(3) 与CP相等的线段是AM，证明如下：
由(2)的全等结论可得AE=CF。
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠ACD=45°。
∵∠EAM=∠BAD-∠BAE，∠FCP=∠ACD-∠ACF，且由(2)知∠BAE=∠ACF，
∴∠EAM=∠FCP。
在△AEM和△CFP中：
$\begin{cases} ∠EAM=∠FCP \\ AE=CF \\ ∠AEM=∠CFP=90° \end{cases}$
∴△AEM≌△CFP(ASA)，
∴CP=AM。
(4) 首先计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×2=4$
∵$S_{△ABC}=S_{△APB}+S_{△APC}$，且$S_{△APB}=\frac{1}{2}·AP·BE=\frac{1}{2}AP·d_1$，$S_{△APC}=\frac{1}{2}·AP·CF=\frac{1}{2}AP·d_2$
∴$4=\frac{1}{2}·AP·(d_1+d_2)$，整理得$d_1+d_2=\frac{8}{AP}$
要使$d_1+d_2$最大，需AP取最小值，根据垂线段最短，当AP⊥BC时AP最小，此时AP=AD=2
∴$d_1+d_2$的最大值为$\frac{8}{2}=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AP⊥ BC}$
(2) $\boldsymbol{CF=BE+EF}$
(3) 与CP相等的线段是$\boldsymbol{AM}$，证明见解析
(4) $d_1+d_2$的最大值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，面积法求最值
【点评】
本题由易到难层层递进，以等腰直角三角形为背景，综合考查了全等三角形证明、线段关系推导及最值求解，解题时要注意利用同角的余角相等找等角，掌握面积转化的思路，可有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题属于共顶点等腰直角三角形的手拉手全等模型题，解题思路如下：
(1) 先猜测BD与CE数量相等、互相垂直：首先找到包含BD、CE的△DAB和△EAC，已知两组对应边相等，且夹角均为90°，可通过SAS判定两三角形全等，得到边相等的结论；再利用全等的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导两条线段的夹角为90°，证明垂直。
(2) 旋转后图形位置改变，但△ABC和△ADE仍为共顶点的等腰直角三角形：先利用同角的余角相等证明两个三角形的夹角相等，仍然通过SAS证明全等得到边相等；再通过角的等量代换，结合三角形内角和证明两条线段夹角为90°，得到垂直关系。
【解析】
(1) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
如答图①，延长BD交CE于点F。
在△EAC和△DAB中，
$\begin{cases} AE=AD,\\ ∠EAC=∠DAB=90°,\\ AC=AB, \end{cases}$
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵在Rt△EAC中，∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
在△BEF中，∠BFE=180°-(∠ABD+∠AEC)=180°-90°=90°，
即BD⊥CE。

(2) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
如答图②，延长BD交CE于点F。
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC（同角的余角相等）。
在△DAB和△EAC中，
$\begin{cases} AD=AE,\\ ∠BAD=∠EAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=∠ABC+∠ACB=90°，
在△BFC中，∠BFC=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-90°=90°，
即BD⊥CE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CE}$，$\boldsymbol{BD⊥ CE}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{BD=CE}$，$\boldsymbol{BD⊥ CE}$，理由见解析。

【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型应用题，核心是抓住共顶点的等线段、等角条件证明三角形全等，再利用全等的性质推导边和角的关系。解题时要注意图形旋转后线段和角的等量关系不变，学会通过角的等量代换推导垂直关系。
【难度系数】
0.6