【分析】
要判断一组数是不是勾股数，需牢记勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，两个条件需同时满足。解题时先依据“正整数”的要求排除不符合的选项，再对剩余选项验证平方和的关系即可快速得出结果。
【解析】
勾股数的定义：能够构成直角三角形三边长的一组正整数，叫做勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：$\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、\frac{1}{5}$都是分数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项B：$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不满足勾股定理逆定理，排除；
选项C：$0.3、0.4、0.5$都是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项D：9、40、41都是正整数，且$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，即$9^2+40^2=41^2$，满足勾股数的所有条件。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和关系错选C，解题时要先判断数的属性，再验证数量关系，即可规避错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断三角形的形状，需先根据已知等式推导三边的数量关系。首先利用完全平方公式展开等式左边，再通过移项化简得到三边的平方关系，最后结合勾股定理的逆定理即可判断三角形的类型。
【解析】
对已知等式逐步变形：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - c^2 &= 2ab\\\mathrm{展开完全平方得：}\quad a^2 + 2ab + b^2 - c^2 &= 2ab\\\mathrm{两边同时减去}2ab\mathrm{得：}\quad a^2 + b^2 - c^2 &= 0\\\mathrm{整理得：}\quad a^2 + b^2 &= c^2\end{aligned}$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，解题核心是通过整式恒等变形得到三角形三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，主要考查学生的基础运算能力和定理应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，有两种核心思路：① 利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方；② 结合三角形内角和为180°，判断是否存在内角为90°。我们只需逐个验证选项，排除能判定为直角三角形的选项，即可得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：设三边长分别为$3k$、$4k$、$5k$（$k＞0$），计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定为直角三角形。
选项B：设三边长分别为$k$、$2k$、$\sqrt{3}k$（$k＞0$），计算得$k^2+(\sqrt{3}k)^2=k^2+3k^2=4k^2=(2k)^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定为直角三角形。
选项C：由$∠ A - ∠ B = ∠ C$可得$∠ A = ∠ B + ∠ C$，结合三角形内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，代入得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，可判定为直角三角形。
选项D：设三个角分别为$3x$、$4x$、$5x$，结合内角和得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，三个角分别为$45°$、$60°$、$75°$，不存在直角，不能判定为直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础常考题，同时考查了边、角两个维度的判定逻辑，解题时可根据选项给出的条件灵活选择判定方法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
拿到已知三边长求三角形面积的题目，首先可以通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先分别计算三边的平方，观察是否存在两条较短边的平方和等于最长边的平方，若符合则说明是直角三角形，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算三边长的平方：
$1^2=1$，$(\sqrt{2})^2=2$，$(\sqrt{3})^2=3$
2. 验证勾股定理的逆定理：
因为$1^2 + (\sqrt{2})^2 =1+2=3= (\sqrt{3})^2$，由此可知$△ ABC$是直角三角形，且两条直角边长为$1$和$\sqrt{2}$，最长边$\sqrt{3}$为斜边。
3. 计算三角形面积：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×$直角边$×$直角边，代入数据得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再选用对应的面积公式计算，避免盲目使用普通三角形面积公式增加计算量。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题第一步先观察△ABC的三边长，5、12、13是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。判断出是直角三角形后，结合已知CD是斜边AB上的中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质即可直接求出CD的长度。
【解析】
解：已知在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13
先计算三边的平方：
$AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$AB^2 = 13^2 = 169$
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，AB为斜边。
又
∵ CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
∴ $CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×13 = 6.5$
【答案】
6.5
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特殊性质求解线段长度，考查对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）已知CD垂直AB，可得△CDB为直角三角形，已知该直角三角形的斜边BC和一条直角边CD的长度，根据勾股定理即可直接计算另一条直角边DB的长度。
（2）要证明AC⊥BC，即需证明∠ACB=90°，可通过勾股定理的逆定理验证：先计算AD的长度，再在Rt△ACD中利用勾股定理求出AC²，验证AC²与BC²的和是否等于AB²，若相等则△ABC为直角三角形且∠ACB为直角，即可得到垂直的结论。
【解析】
(1) 解：$\because CD\bot AB$，$\therefore ∠ CDA=∠ CDB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$BC=\sqrt{5}$，$CD=2$，
$\therefore BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$，
$\therefore DB$的长为1。
(2) 证明：$\because AB=5$，$BD=1$，$\therefore AD=AB-BD=5-1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20$，
$\therefore AC^2+BC^2=20+5=25$。
$\because AB^2=5^2=25$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
$\therefore AC\bot BC$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $AC\bot BC$，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础几何计算题与证明题，主要考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，以及利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，解题逻辑清晰，侧重对基础定理的理解和运用。
【难度系数】
0.8

【分析】
该图形为不规则图形，求面积需转化为规则图形的面积差求解。首先观察到△ADC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先连接AC，利用勾股定理求出AC的长度；再将AC的长度与△ABC的另外两条边长度结合，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；若△ABC为直角三角形，那么阴影部分的面积就等于直角△ABC的面积减去直角△ACD的面积。
【解析】
解：如答图，连接$AC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=8$，$CD=6$，$∠ ADC=90°$，
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=8^2+6^2=100$，即$AC=10$。
在$△ ABC$中，$AC=10$，$BC=24$，$AB=26$，
$\because AC^2+BC^2=10^2+24^2=676$，$AB^2=26^2=676$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$为直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
$\therefore$该图形的面积为：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×10×24-\frac{1}{2}×6×8=120-24=96$。
【答案】
96

第7题答图
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则图形的面积转化为两个直角三角形的面积差求解，解题的关键是正确添加辅助线AC，先后运用勾股定理和勾股定理的逆定理得到两个直角三角形，考查了对勾股定理及其逆定理的灵活运用能力，同时体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先，勾股数是满足直角三角形三边关系的正整数，已知a、b均小于c，所以c是直角三角形的斜边，满足勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$。要求b的表达式，可先将公式变形为$b^2 = c^2 - a^2$，再利用平方差公式简化计算，代入a、c的含m表达式化简，最后结合b是正整数的条件求出b即可。
【解析】
∵$a,b,c$是勾股数，且$a,b$均小于$c$，
∴$c$为直角三角形的斜边，满足勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，
变形得：$b^2 = c^2 - a^2$，
利用平方差公式因式分解：$b^2=(c-a)(c+a)$，
将$a=\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}$，$c=\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}$代入：
$c-a=(\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2})-(\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2})=1$，
$c+a=(\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2})+(\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2})=m^2$，
∴$b^2=1 × m^2 = m^2$，
∵$b$是正整数，
∴$b=m$。
【答案】
$m$
【知识点】
勾股定理，平方差公式，勾股数的定义
【点评】
本题考查勾股定理的应用与整式的化简运算，解题的关键是明确勾股数中最大的数为直角三角形的斜边，再利用平方差公式简化计算过程，解题思路清晰，运算难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断三角形的形状，已知三边的相关条件，优先考虑勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。本题已知a+b和ab的值，无需单独求解a、b的具体数值，可利用完全平方公式的变形整体求出a²+b²的值，再与c²比较即可得到结论。
【解析】
已知$a+b=10$，将等式两边同时平方可得：
$(a+b)^2=10^2$
根据完全平方公式展开得：
$a^2+2ab+b^2=100$
把$ab=18$代入上式，得：
$a^2+b^2 + 2×18 =100$
计算得：
$a^2+b^2=100-36=64$
又已知$c=8$，因此$c^2=8^2=64$
可得$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理的逆定理；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的核心是利用完全平方公式的变形整体计算两短边的平方和，避免了单独求解边长的复杂运算，能有效考查对公式变形和几何判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8