【分析】
(1)要证明△ABC≌△AFD，先梳理已知条件：题目已给出AC=AD、∠ACB=∠ADB，已有一组边、一组角对应相等，还需一组对应角相等即可用ASA判定全等。结合已知∠BAF=∠EAD，将两个角同时减去公共角∠CAF，就能得到∠BAC=∠FAD，凑齐ASA判定的全部条件。
(2)要证明AC⊥BD，先由(1)的全等结论可得AB=AF，即△ABF是等腰三角形，结合已知BE=FE，可知AE是等腰△ABF底边BF上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出AE⊥BF，进而得到AC⊥BD。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ BAF = ∠ EAD$，
$\therefore ∠ BAF - ∠ CAF = ∠ EAD - ∠ CAF$，即$∠ BAC = ∠ FAD$。
在$△ ABC$和$△ AFD$中，
$\begin{cases} ∠ BAC = ∠ FAD, \\ AC = AD, \\ ∠ ACB = ∠ ADF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AFD(\mathrm{ASA})$。
(2) 证明：由(1)得$△ ABC ≌ △ AFD$，
$\therefore AB = AF$。
$\because BE = FE$，
$\therefore AC ⊥ BF$，即 $AC ⊥ BD$。
【答案】
(1) $\because ∠ BAF = ∠ EAD, \therefore ∠ BAF - ∠ CAF = ∠ EAD - ∠ CAF, \therefore ∠ BAC = ∠ FAD$。
在$△ ABC$和$△ AFD$中,$\begin{cases} ∠ BAC = ∠ FAD, \\ AC = AD, \\ ∠ ACB = ∠ ADF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AFD(\mathrm{ASA})$。
(2)由(1)得$△ ABC ≌ △ AFD, \therefore AB = AF$。
$\because BE = FE, \therefore AC ⊥ BF$,即 $AC ⊥ BD$。
【知识点】
1. 全等三角形ASA判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础证明题，围绕全等三角形、等腰三角形的核心知识点命题，解题时需要结合待证结论逆向推导所需条件，再结合已知正向推导补齐条件，对基础逻辑推理能力有一定考查作用，属于几何常规考法。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证明$AE=2CE$，首先观察到点E在AB的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，可连接辅助线BE，得到$AE=BE$，此时只需证明$BE=2CE$即可。结合已知$△ ABC$是含$30°$角的直角三角形，先算出$∠ ABC=60°$，再结合$∠ ABE=∠ A=30°$，可得$∠ CBE=30°$，在$Rt△ BCE$中利用30°角的直角三角形性质即可得到$BE=2CE$，等量代换即可得证。
(2) 判断$△ BCD$的形状时，先根据垂直平分线的性质得D是AB中点，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=BD$，结合已知$∠ ABC=60°$，根据等边三角形的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接BE.
$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AE = BE$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ A = 30°$.
$\because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ ABC = 60°$,
$\therefore ∠ CBE = ∠ ABC - ∠ ABE = 30°$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BE = 2CE, \therefore AE = 2CE$.
(2) 解：$△ BCD$ 是等边三角形.
理由：$\because DE$ 垂直平分 $AB, \therefore D$ 为 $AB$ 的中点.
$\because ∠ ACB = 90°, \therefore CD = BD$.
$\because ∠ ABC = 60°, \therefore △ BCD$ 是等边三角形.
【答案】
19.(1)证明:如答图,连接 BE.
$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AE = BE$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ A = 30°$.
$\because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ ABC = 60°$,
$\therefore ∠ CBE = ∠ ABC - ∠ ABE = 30°$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BE = 2CE, \therefore AE = 2CE$.
(2)解:$△ BCD$ 是等边三角形.
理由:$\because DE$ 垂直平分 $AB, \therefore D$ 为 $AB$ 的中点.
$\because ∠ ACB = 90°, \therefore CD = BD$.
$\because ∠ ABC = 60°, \therefore △ BCD$ 是等边三角形.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形模块的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线，结合特殊三角形的性质推导边角关系，考查的都是基础核心知识点，是该章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)求∠BDC时，已知BD=BC，△BDC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠ABC的度数，利用三角形内角和即可计算；求∠ABE时，先利用△ABC内角和算出∠ACB的度数，再结合CE=BC可判定△BCE是等边三角形，得到∠EBC的度数，用∠ABC减去∠EBC即可得到∠ABE的度数。
(2)要找∠BEC与∠BDC的关系，可先设两个角分别为α、β，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角性质、三角形内角和定理，将两个角用同一个中间量∠ABE表示，再将两个角相加消去中间量，即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1)
∵ ∠ABC = 80°，BD = BC，
∴ ∠BDC = ∠BCD = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×(180° - 80°) = 50°。
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
已知∠A=40°，∠ABC=80°，
∴ ∠ACB = 180° - 40° - 80° = 60°。
又
∵ CE = BC，∠ACB=60°，
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠EBC = 60°，
∴ ∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 80° - 60° = 20°。
(2)∠BEC + ∠BDC = 110°，理由如下：
设∠BEC = α，∠BDC = β，
根据三角形外角的性质，∠BEC是△ABE的外角，
∴ α = ∠A + ∠ABE = 40° + ∠ABE。
∵ CE = BC，
∴ ∠CBE = ∠BEC = α，
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠CBE = ∠ABE + α = 40° + 2∠ABE。
在△BDC中，BD = BC，
∴ ∠BDC = ∠BCD = β，
根据三角形内角和定理：∠BDC + ∠BCD + ∠DBC = 180°，
即2β + ∠ABC = 180°，
将∠ABC = 40° + 2∠ABE代入得：
2β + 40° + 2∠ABE = 180°，
化简得：β = 70° - ∠ABE，
∴ α + β = (40° + ∠ABE) + (70° - ∠ABE) = 110°，
即∠BEC + ∠BDC = 110°。
【答案】
(1)∠BDC=50°，∠ABE=20°；
(2)∠BEC + ∠BDC = 110°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算与证明的综合题，核心考查三角形相关性质的灵活应用，解题时要注意利用等腰三角形中等边对等角的关系进行角度转化，通过设参数或找中间角的方式能更清晰地梳理角度之间的联系，是三角形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7