【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：
(1) 第一问求台风从B到D的时间，首先已知AD是城市A到BC的距离，可得AD⊥BC，即△ABD是直角三角形。已知AB和AD的长度，我们可以先用勾股定理求出BD的长度，再结合台风移动速度，用“时间=路程÷速度”就能算出所需时间。
(2) 第二问求城市A受台风影响的时长，首先明确：当台风中心与A的距离≤200km时，A会受影响。所以我们在BC上取E、F两点，使得AE=AF=200km，那么台风在EF段移动时A都会受影响。因为AD⊥BC，且AE=AF，根据等腰三角形三线合一可知DE=DF，我们先在Rt△AED中用勾股定理求出DE的长度，就能得到EF的总长度，再除以台风速度即可得到影响时长。
【解析】
(1) 由题意得：$AD⊥ BC$，$AB=340\ \mathrm{km}$，$AD=160\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{340^2-160^2}=300\ \mathrm{km}$
已知台风移动速度为$20\ \mathrm{km/h}$，则移动时间为：
$300÷20=15(\mathrm{h})$
(2) 如答图，在射线$BC$上取点$E$、$F$，使得$AE=AF=200\ \mathrm{km}$。
$\because AD⊥ BC$，$AE=AF$，$\therefore DE=DF$（等腰三角形三线合一）。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，根据勾股定理：
$ED=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{200^2-160^2}=120\ \mathrm{km}$
$\therefore$受影响的路径长度$EF=2ED=2×120=240\ \mathrm{km}$，
则影响持续时间为：
$240÷20=12(\mathrm{h})$
【答案】
(1) 台风中心经过$15\ \mathrm{h}$从点$B$移到点$D$；
(2) 如答图，城市A受到台风影响的时间持续$12\ \mathrm{h}$。
【知识点】
勾股定理，行程计算，等腰三角形性质
【点评】
这道题以台风影响的实际场景为载体，考查了勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的几何计算问题，正确理解影响范围对应的线段长度，同时结合行程的数量关系求解，贴合生活实际，能很好地考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要判断M、N是否为线段AB的勾股分割点，只需根据定义验证三条线段AM、MN、NB是否满足勾股定理即可：先确定三条线段中最长的线段，计算两条较短线段的平方和，与最长线段的平方比较，若相等则符合勾股定理，即为勾股分割点。
（2）已知AM是直角边，但未明确斜边，因此需要分两种情况讨论：①MN为斜边，②BN为斜边。设BN长为x，先根据线段和差关系用x表示出MN的长度，再针对两种情况分别根据勾股定理列方程求解，最后验证解符合线段长度为正的要求即可。
【解析】
(1) $M,N$是线段$AB$的勾股分割点，理由如下：
$\because AM^2+BN^2=2.5^2+6^2=42.25$，$MN^2=6.5^2=42.25$，
$\therefore AM^2+NB^2=MN^2$，
$\therefore$以$AM,MN,NB$为边的三角形是直角三角形，
$\therefore M,N$是线段$AB$的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，则$MN=30-AM-BN=25-x$，分两种情况讨论：
① 当$MN$为斜边时，根据勾股定理得$MN^2=AM^2+NB^2$，
即$(25-x)^2=5^2+x^2$，
展开化简得$50x=600$，解得$x=12$；
② 当$BN$为斜边时，根据勾股定理得$BN^2=AM^2+MN^2$，
即$x^2=5^2+(25-x)^2$，
展开化简得$50x=650$，解得$x=13$。
经检验，$x=12$和$x=13$均符合线段长度要求。
综上所述，$BN$的长为12或13。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) 12或13
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题为新定义题型，解题核心是准确理解“勾股分割点”的定义，将问题转化为勾股定理相关计算。解题时需注意，若直角三角形斜边未明确，要分情况讨论，避免漏解，同时求解后需验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要使△ABC≌△PMA，已知两三角形均为直角三角形（∠C=∠MAP=90°），且AM=BC，根据SAS全等判定条件，只需AP=AC即可。先计算AC的长度为CM+AM=8cm，结合点P的运动速度即可求出t的值。
(2) 要证AB⊥PM，只需证明两直线夹角为90°。利用全等三角形对应角相等得到∠APM=∠CAB，结合∠CAB与∠BAP互余，代换后可推出∠APM+∠BAP=90°，即可得到夹角为直角，得证垂直。
(3) 判断△ABP为等腰三角形需分三种情况讨论：①AP=AB；②BP=BA；③AP=PB。先通过勾股定理算出AB的长度，再作BH⊥AN构造直角三角形，分别根据三种等腰的等量关系列等式计算t的值，注意检验结果的合理性。
【解析】
(1) 由题意得∠C=∠MAP=90°，AC=CM+AM=2+6=8cm。
已知AM=BC=6cm，∠C=∠MAP，根据SAS全等判定，要使△ABC≌△PMA，需AP=AC=8cm。
∵点P运动速度为1cm/s，
∴t=8÷1=8。
(2) 证明：
∵△ABC≌△PMA，
∴∠APM=∠CAB。
∵AN⊥AC，
∴∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠APM+∠BAP=90°，
∴∠ADP=180°-(∠APM+∠BAP)=90°，
∴AB⊥PM。
(3) 解：存在，理由如下：
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
由勾股定理得$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
如答图，过点$B$作$BH⊥ AN$于点$H$，则$AH=BC=6\ \mathrm{cm}$，$BH=AC=8\ \mathrm{cm}$。
分三种情况讨论：
①当$AP=AB=10\ \mathrm{cm}$时，△ABP是等腰三角形，$\therefore t=10÷1=10$；
②当$BP=BA=10\ \mathrm{cm}$时，△ABP是等腰三角形，由等腰三角形三线合一得$AH=PH$，
$\therefore AP=2AH=2×6=12\ \mathrm{cm}$，$\therefore t=12÷1=12$；
③当$AP=PB$时，△ABP是等腰三角形，设$AP=PB=t\ \mathrm{cm}$，则$PH=(t-6)\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ PBH$中，由勾股定理得$PH^2+BH^2=PB^2$，
$\therefore (t-6)^2+8^2=t^2$，解得$t=\frac{25}{3}$。
综上所述，当$t$的值为$10$或$12$或$\frac{25}{3}$时，△ABP是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$
(2) 证明：$\because △ ABC≌△ PMA$,$\therefore ∠ APM=∠ CAB$.
$\because ∠ CAB+∠ BAP=90°$,
$\therefore ∠ APM+∠ BAP=90°$,
$\therefore ∠ ADP=90°$,$\therefore AB⊥ PM$.
(3) 存在，$t$的值为$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{\frac{25}{3}}$。
如答图
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是几何动点综合题型，考查了全等三角形、垂直的证明、等腰三角形的分类讨论及勾股定理的应用，解题的关键是对等腰三角形的三边关系分情况讨论，避免漏解，是几何综合的常考题型。
【难度系数】
0.6