【分析】
(1)要证明$BD=DE$，可通过证明$△ BDE$为等腰三角形实现，即推导$∠ DBE=∠ DEB$：首先根据角平分线定义可得$∠ ABE=∠ EBC$，再结合平行线内错角相等的性质，得到$∠ DEB=∠ EBC$，等量代换后即可得到等角，利用等角对等边即可得证。
(2)首先结合(1)的结论和已知$∠ DEB=30°$，可推出$∠ ABC=60°$，结合$AB=AC$可判定$△ ABC$是等边三角形，再根据$DE// BC$推导$△ ADE$为等边三角形，利用等边三角形三边相等即可求出$AD$的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ EBC$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ EBC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ DBE=∠ DEB$，
$\therefore BD=DE$（等角对等边）。
(2)解：
$\because ∠ DEB=30°$，由(1)可知$∠ DBE=∠ DEB=∠ EBC=30°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DBE+∠ EBC=30°+30°=60°$，
$\because AB=AC$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore ∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC=60°$，$∠ AED=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ ADE$三个内角均为$60°$，即$△ ADE$是等边三角形，
$\therefore AD=DE=3$。
【答案】
(1)$BD=DE$得证；(2)$AD$的长度为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查角平分线、平行线性质与特殊三角形判定的综合应用，其中“角平分线+平行线”推导等腰三角形是几何中常见的模型，熟练掌握该模型可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路：首先明确点P的两个约束条件对应的几何轨迹：①到∠AOC两边距离相等的点在∠AOC的角平分线上，∠AOC为直角，其角平分线是第一象限的角平分线；②到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上。因此点P为两条轨迹的交点，第一问作这两条线取交点即可完成尺规作图。第二问先根据A、B的坐标特征确定AB平行于x轴，求出AB垂直平分线的位置，再结合角平分线的坐标特征即可求出P点坐标。
【解析】
(1) 先作∠AOC的角平分线，再作线段AB的垂直平分线，两条线的交点即为所求点P，作图痕迹如答图所示。
(2)
∵A(0,8)，B(4,8)，两点纵坐标相同，
∴AB//x轴。
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，AB中点的横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，因此AB的垂直平分线为直线x=2，即点P的横坐标为2。
∵点P到∠AOC两边的距离相等，
∴点P在∠AOC的角平分线上，第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，即y=x。
将x=2代入y=x，得y=2，因此点P的坐标为(2,2)。
【答案】
(1) 如答图,点P即为所求.
(2) $\boldsymbol{(2,2)}$
【知识点】
角平分线的判定、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质
【点评】
本题结合尺规作图和平面直角坐标系知识，考查了角平分线、线段垂直平分线判定的应用，解题关键是将点满足的条件转化为对应的几何轨迹，再结合坐标特征求解，能较好地考查几何性质与代数坐标结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决第(1)问时，先根据方位角的度数计算∠ACB的大小，判断出△ACB是直角三角形，再结合已知的两条直角边长度，用勾股定理即可求出AB的长度；解决第(2)问时，要判断轮船能否收到信号，本质是求点C到直线AB的最短距离，过C作AB的垂线段CH，CH就是最短距离，利用同一个三角形面积的两种计算方法求出CH的长度，再和信号覆盖半径50海里比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得∠ACM=54°，∠BCN=36°，
∴∠ACB=180°-54°-36°=90°，即△ACB为直角三角形。
已知AC=80海里，BC=60海里，在Rt△ACB中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{10000}=100$（海里）。
(2) 过点C作CH⊥AB于点H，CH为点C到AB的最短距离。
∵△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· CH$，
∴$\frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}AC· BC$，
代入数值得$100CH=80×60$，解得$CH=48$海里。
∵48海里＜50海里，即最短距离小于信号覆盖半径，
∴轮船在航行过程中能收到信号塔C的信号。
【答案】
(1) 小岛A与小岛B之间的距离是100海里；
(2) 轮船在航行过程中能收到信号塔C的信号。

【知识点】
方位角的应用，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题结合实际航海场景命题，考查了将实际问题转化为几何问题的转化思想，解题关键是先通过方位角判定直角三角形，再结合勾股定理、点到直线距离的性质求解，贴近生活实际，能锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的特点，分别代入解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2)点P在一次函数图象上，可将n用含m的式子表示，代入k=m+n得到k关于m的一次函数；再根据P的取值范围m＞0、n＜0求出m的取值范围，代入k的表达式即可求出k的范围。
(3)针对OP=OQ且∠POQ=90°的条件，通过作y轴的垂线构造全等三角形，利用同角的余角相等证明三角形全等，用m表示出Q点的坐标，再将Q点坐标代入一次函数解析式求出m的值，进而计算m+n。
(4)三条直线不能围成三角形有两种情况：一是其中两条直线平行，二是三条直线交于同一点。本题即直线OP平行于CD，或者直线OP经过AB和CD的交点C，分两种情况分别求出直线OP的解析式，再与AB的解析式联立求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1)在一次函数$y=2x-4$中：
令$x=0$，得$y=-4$，$\therefore B(0,-4)$；
令$y=0$，得$2x-4=0$，解得$x=2$，$\therefore A(2,0)$。
(2)$\because P(m,n)$在$y=2x-4$上，$\therefore n=2m-4$，
由$m＞0$，$n＜0$得$2m-4＜0$，解得$0＜m＜2$，
则$k=m+n=m+2m-4=3m-4$，
将$0＜m＜2$代入得：$3×0-4 ＜ k ＜ 3×2-4$，即$-4＜k＜2$。
(3)过点$P$作$PM⊥ y$轴于$M$，过点$Q$作$QN⊥ y$轴于$N$，
$\therefore ∠ PMO=∠ ONQ=90°$，$\therefore ∠ POM+∠ OPM=90°$，
$\because ∠ POQ=90°$，$\therefore ∠ POM+∠ QON=90°$，$\therefore ∠ OPM=∠ QON$，
在$△ POM$和$△ OQN$中：
$\begin{cases}∠ PMO=∠ ONQ \\∠ OPM=∠ QON \\OP=OQ\end{cases}$
$\therefore △ POM≌△ OQN(\mathrm{AAS})$，
$\because P(m,2m-4)$，$n＜0$，$\therefore PM=m$，$OM=4-2m$，
由全等得$ON=PM=m$，$NQ=OM=4-2m$，
$\because Q$在第一象限，$\therefore Q(4-2m,m)$，
将$Q$代入$y=2x-4$得：$2(4-2m)-4=m$，
解得$m=\frac{4}{5}$，
$\therefore n=2×\frac{4}{5}-4=-\frac{12}{5}$，
$\therefore m+n=\frac{4}{5}-\frac{12}{5}=-\frac{8}{5}$。
(4)设直线$OP$的解析式为$y=ax$，分两种情况讨论：
①当$OP// CD$时，直线$y=-3x+1$的一次项系数为$-3$，$\therefore a=-3$，即$OP$解析式为$y=-3x$，
联立$\begin{cases}y=-3x \\ y=2x-4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{4}{5} \\ y=-\frac{12}{5} \end{cases}$，即$P(\frac{4}{5},-\frac{12}{5})$；
②当$OP$经过$AB$与$CD$的交点$C$时，
联立$\begin{cases}y=2x-4 \\ y=-3x+1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1 \\ y=-2 \end{cases}$，即$C(1,-2)$，此时$P$与$C$重合，$\therefore P(1,-2)$。
综上，符合条件的$P$点坐标为$(\frac{4}{5},-\frac{12}{5})$或$(1,-2)$。
【答案】
14.解:(1)在y=2x-4中,当x=0时,y=-4,
则B(0,-4).
当y=0时,2x-4=0,解得x=2,则A(2,0).
(2)由题意知,n=2m-4＜0,则m＜2,
∵k=m+n=m+2m-4=3m-4,且0＜m＜2,
∴-4＜k＜2.
(3)如答图①,过点P作PM⊥y轴于点M,过点Q作QN⊥y轴于点N,
则∠PMO=∠ONQ=90°,
∴∠POM+∠OPM=90°.
∵∠POQ=90°,
∴∠POM+∠QON=90°,
∴∠OPM=∠QON.
又
∵OP=OQ,
∴△POM≌△OQN(AAS).
由题意知,P(m,2m-4),且2m-4＜0,
∴PM=m,OM=4-2m,
∴ON=PM=m,NQ=OM=4-2m,
∴Q(4-2m,m).
∵点Q在直线y=2x-4上,
∴2(4-2m)-4=m,
解得m=4/5,
∴n=2m-4=-12/5,
则m+n=4/5 -12/5 = -8/5.
(4)设直线OP的函数表达式为y=ax,如答图②.
∵直线OP与直线AB,直线CD不能围成三角形,
∴直线OP//直线CD或直线OP过点C.
①若直线OP//直线CD,则a=-3,
∴直线OP的函数表达式为y=-3x,
由$\begin{cases} y=-3x, \\ y=2x-4 \end{cases}$得$\begin{cases} x=\dfrac{4}{5}, \\ y=-\dfrac{12}{5}, \end{cases}$即$P(\dfrac{4}{5},-\dfrac{12}{5})$;
②若直线OP过点C,
由$\begin{cases} y=2x-4, \\ y=-3x+1 \end{cases}$得$\begin{cases} x=1, \\ y=-2, \end{cases}$
即点C(1,-2),此时点P(1,-2).
综上,符合条件的点P的坐标为$(\dfrac{4}{5},-\dfrac{12}{5})$或$(1,-2)$.
【知识点】
一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，两直线的位置关系
【点评】
本题是一次函数综合题，覆盖了一次函数与坐标轴交点求解、参数范围计算、几何与函数结合的坐标求解、多条直线位置关系判断等考点，需要熟练掌握一次函数的基本性质，会运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6