【分析】
(1)求一次函数解析式可使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数一般形式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，求解后即可得到函数表达式。
(2)这是典型的将军饮马最短路径问题，以y轴为对称轴，作其中一个点的对称点，利用对称性质可将$AE+BE$转化为共线时的最短路径，连线与y轴的交点即为所求点E。
(3)根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，作$∠ABC$的角平分线，与线段AC的交点即为满足条件的点F。
【解析】
(1)设经过A、B两点的直线的函数表达式为$y=kx+b$，
将$A(1,3)$、$B(3,-1)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases} k+b=3\\ 3k+b=-1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去b，得$2k=-4$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$k+b=3$，解得$b=5$，
因此直线AB的函数表达式为$y=-2x+5$。
(2)作点A关于y轴的对称点$A'$，可得$A'(-1,3)$，由对称性质可知$AE=A'E$，因此$AE+BE=A'E+BE$。
根据两点之间线段最短，当$A'$、E、B三点共线时，$AE+BE$取最小值。
设直线$A'B$的解析式为$y=mx+n$，代入$A'(-1,3)$、$B(3,-1)$得：
$\begin{cases} -m+n=3\\ 3m+n=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=-1\\ n=2 \end{cases}$，即直线$A'B$的解析式为$y=-x+2$。
令$x=0$，得$y=2$，因此点E的坐标为$(0,2)$。
(3)到AB、BC距离相等的点在$∠ABC$的角平分线上，作$∠ABC$的角平分线，与线段AC的交点即为所求的点F。
【答案】
(1) $y=-2x+5$
(2) $(0,2)$
(3) 如答图，点F即为所求。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；将军饮马最短路径；角平分线的性质
【点评】
本题综合考查一次函数、最短路径、角平分线性质的应用，难度梯度合理，既考查基础运算能力，也考查几何模型与性质的实际应用，能有效检验学生对相关基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证BD=CE和BD⊥CE，首先观察到∠BAC与∠DAE均为直角，通过角的和差可得∠BAD=∠CAE，结合已知AB=AC、AD=AE，可利用SAS证明△ABD≌△ACE，由全等性质直接得到BD=CE；再结合等腰直角△ABC的底角为45°，推导∠BCE的度数即可证明垂直关系。
(2) 参照(1)的全等模型，通过作辅助线构造共顶点的等腰直角三角形：过点A作AE⊥AD且AE=AD，连接DE、CE，可得∠ADE=45°，结合已知∠ADC=45°可推出∠CDE为直角；同(1)证△ABD≌△ACE，将BD转化为CE，在Rt△CDE中用勾股定理求出DE的长度，最后在等腰Rt△ADE中利用勾股定理计算AD的长。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠BAC=∠DAE=90°$,
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$,
即$∠BAD=∠CAE$.
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE,∠B=∠ACE$.
$\because ∠BAC=90°,AB=AC$,
$\therefore ∠B=∠BCA=45°=∠ACE$,
$\therefore ∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°$,即$BD⊥ CE$.
(2) 解：如答图，过点A作$AE⊥ AD$,且$AE=AD$,连接$DE,CE$,
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ADE=45°$.
$\because ∠ADC=45°$，$\therefore ∠CDE=∠ADE+∠ADC=90°$.
同(1)可证，$△ ABD≌△ ACE$，$\therefore BD=CE=13$.
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\because ∠CDE=90°,CD=5,CE=13$,
由勾股定理得$DE^2+CD^2=CE^2$，即$DE^2+5^2=13^2$,
解得$DE=12$.
$\because ∠EAD=90°,AE=AD$,
由勾股定理得$AE^2+AD^2=DE^2$，即$2AD^2=144$,
$\therefore AD=\sqrt{72}$.
【答案】
(1) $BD=CE$且$BD⊥ CE$，证明见解析；
(2) $AD=\sqrt{72}$

【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型应用，第一问考查基础的全等证明和垂直判定，第二问需要学生迁移第一问的模型构造辅助线，实现边和角的转化，将未知线段放到直角三角形中求解，侧重考查模型应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 求点C坐标时，先求直线$y=x-12$与x轴交点A的坐标：令y=0得x=12，即A(12,0)；由于AC垂直x轴，故C点横坐标与A相同为12，代入$y=\frac{3}{4}x$即可求出纵坐标。
(2) 求E点坐标需结合等腰直角三角形的性质构造全等：延长CA交GD于H，可证$△ DGO≌△ EHD$，得到对应边相等；先根据D在AB上、纵坐标为m求出D点坐标，再结合全等的线段关系推导E点坐标；最后根据E在线段AC上的纵坐标范围，列不等式求出m的取值范围。
(3) 先由B、E两点坐标求直线BE的解析式，F在DG上（纵坐标为m），代入解析式得F点坐标，再分别表示DF、EF的长度，根据$EF=DF-2m$列方程求解，结合m的取值范围舍去不合理解即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=x-12$，令$y=0$，解得$x=12$，即$A(12,0)$。
$\because AC⊥ x$轴，$\therefore$C点横坐标为12，将$x=12$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$y=\frac{3}{4}×12=9$，$\therefore C(12,9)$。
(2) 如答图，延长$CA$交$GD$于点$H$。
由题意知$∠ DGO=∠ DHE=∠ ODE=90°$，
$\therefore ∠ ODG+∠ EDH=90°,∠ EDH+∠ DEH=90°$，
$\therefore ∠ ODG=∠ DEH$，又$\because OD=DE$，
$\therefore △ DGO≌△ EHD(\mathrm{AAS})$，$\therefore DG=EH,OG=DH$。
$\because$点D在$y=x-12$上，纵坐标为$m$，令$y=m$得$x=12+m$，即$D(12+m,m)$，
$\therefore OG=AH=-m,DG=EH=12+m$，
$\therefore AE=EH-AH=(12+m)-(-m)=12+2m$，
$\therefore E(12,12+2m)$。
$\because$点E在线段AC上，AC纵坐标范围为$0≤ y≤9$，
$\therefore 0≤ 12+2m≤9$，解得$-6≤ m≤ -\frac{3}{2}$。
(3) 直线$y=x-12$交y轴于B，令$x=0$得$y=-12$，即$B(0,-12)$。
设直线BE的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,-12)$、$E(12,12+2m)$得：
$\begin{cases}b=-12\\12k+b=12+2m\end{cases}$，解得$k=2+\frac{1}{6}m$，
$\therefore$直线BE的解析式为$y=(2+\frac{1}{6}m)x-12$。
$\because$F在DG上，DG上点的纵坐标均为$m$，令$y=m$，解得$x=6$，即$F(6,m)$。
$\because D(12+m,m)$，$\therefore DF=(12+m)-6=6+m$，
由勾股定理得$EF=\sqrt{(12-6)^2+(12+2m-m)^2}=\sqrt{6^2+(12+m)^2}$，
$\because EF=DF-2m$，$\therefore \sqrt{36+(12+m)^2}=6+m-2m=6-m$，
两边平方整理得$36m=-144$，解得$m=-4$，
经检验$m=-4$在$m$的取值范围内，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(12,9)}$
(2) 点E的坐标为$\boldsymbol{(12,12+2m)}$，m的取值范围为$\boldsymbol{-6≤ m≤-\dfrac{3}{2}}$，辅助线图：
(3) $\boldsymbol{m=-4}$
【知识点】
一次函数坐标求解；全等三角形判定与性质；等腰直角三角形性质
【点评】
本题为一次函数综合题，将几何图形性质与函数计算结合，解题核心是构造全等三角形实现线段转化，再结合函数解析式、方程思想求解参数，既考察基础知识点的掌握，也对综合分析、数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.3