【分析】
(1) 已知y-2与x+3成正比例，根据正比例的定义，可先设表达式为$y-2=k(x+3)(k≠0)$，再将已知的$x=-4,y=0$代入表达式，求出参数k的值，最后整理为y关于x的函数表达式即可。
(2) 第二问求指定x对应的y值，直接将$x=-1$代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到结果。
(3) 第三问已知y的取值范围求x的范围，因为该一次函数的$k=2＞0$，y随x的增大而增大，可先分别将y的边界值代入解析式求出对应的x值，再结合y的范围确定x的取值范围，也可以直接将$y=2x+8$代入不等式求解。
【解析】
(1) 设$y-2=k(x+3)(k≠0)$，
把$x=-4,y=0$代入上式，得$(-4+3)k=0-2$，解得$k=2$，
代入所设式子得$y-2=2(x+3)$，
整理得y与x之间的函数表达式为$y=2x+8$。
(2) 当$x=-1$时，代入$y=2x+8$得：
$y=2×(-1)+8=6$。
(3) 当$y=-2$时，$2x+8=-2$，解得$x=-5$；
当$y=6$时，$2x+8=6$，解得$x=-1$；
因为一次函数$y=2x+8$中$k=2＞0$，y随x的增大而增大，
所以当$-2＜y≤6$时，x的取值范围为$-5＜x≤-1$。
【答案】
(1)$y=2x+8$；(2)$6$；(3)$-5＜x≤-1$
【知识点】
1. 正比例的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础常规题型，既考查了对正比例关系的理解，也考查了待定系数法的应用，以及结合函数性质求自变量取值范围的能力，是巩固一次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证明$△ BDF≌△ ADC$，首先根据垂直的定义可得两组对应角为直角，再利用同角的余角相等推出$∠ DBF=∠ DAC$，结合已知$DF=DC$，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 根据全等三角形的性质可得$BD=AD$，再结合线段和差关系：$BD=BC-DC$，$AD=AF+DF$，已知$DF=DC$，代入$AF$、$BC$的数值建立关于$DF$的方程，求出$DF$后即可计算$AD$的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ BC,BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ BDF=∠ ADC=∠ BEC=90°$,
$\therefore ∠ DBF+∠ C=90°$，$∠ DAC+∠ C=90°$，即$∠ DBF=∠ DAC=90°-∠ C$。
在$△ BDF$和$△ ADC$中,$\begin{cases}∠ BDF=∠ ADC,\\∠ DBF=∠ DAC,\\DF=DC,\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ ADC(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：由(1)得$△ BDF≌△ ADC$,
$\therefore BD=AD$,
$\because BD=BC-DC$，$AD=AF+DF$，且$DF=DC$,
$\therefore BC-DF=AF+DF$,
把$AF=4$，$BC=6$代入得：$6-DF=4+DF$,
解得$DF=1$,
$\therefore AD=AF+DF=4+1=5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
全等三角形的AAS判定，全等三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用题型，第一问需要从垂直关系中挖掘角相等的条件，考查全等判定定理的掌握程度；第二问结合全等性质和线段和差关系建立方程求解，侧重考查等量代换的运算能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 本小题为尺规作图题，要求作∠ECF=∠ECA，可直接使用“作一个角等于已知角”的基本作图方法完成；也可先推导角度关系：由DE是AC的垂直平分线可得EA=EC，因此∠ECA=∠A=30°，只需以CE为边，作∠ECF=30°，交BE于点F即可，也等价于过点C作AB的垂线得到点F。
(2) 要判断ED与EF的数量关系，观察两条线段的特征：ED是点E到AC的垂线段，结合已知∠ECD=∠ECF、CE为公共边，可通过证明△CDE和△CFE全等，推导得到两条线段相等的结论。
【解析】
(1) 已知∠A=30°，DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得EA=EC，因此∠ECA=∠A=30°。
要求∠ECF=∠ECA，即∠ECF=30°，因此∠EFC=180°-∠CEB-∠ECF=180°-(∠A+∠ACE)-30°=90°，即CF⊥AB，按要求作图即可。
(2) 结论：$ED=EF$，理由如下：
∵$ED⊥CA$，$CF⊥AB$，
∴$∠CDE=∠CFE=90°$。
在$△ CDE$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠CDE=∠CFE \\∠ECD=∠ECF \\CE=CE\end{cases}$
∴$△ CDE≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
∴$ED=EF$。
【答案】
(1) $\because ∠ A=30°$,$DE$垂直平分$AC$,$\therefore EA=EC$,
$\therefore ∠ ECA=∠ A=30°$.
$\because ∠ ECF=∠ ECA,\therefore ∠ ECF=30°$,
$\therefore ∠ EFC=90°$,即 $CF⊥ AB$.
如答图,点 $F$ 即为所求.
(2)结论:$ED=EF$.
理由:$\because ED⊥ CA,EF⊥ CF$,
$\therefore ∠ CDE=∠ CFE=90°$.
在$△ CDE$和$△ CFE$中,$\begin{cases}∠ CDE=∠ CFE,\\∠ ECD=∠ ECF,\\CE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ CFE(\mathrm{AAS}),\therefore ED=EF$.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作角，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，同时考查了尺规作图的操作能力、线段垂直平分线的性质应用和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基础作图方法，能快速梳理出全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求直线解析式需要确定直线上两个点的坐标，先令x=0求出直线与y轴交点B的坐标，得到OB长度，再根据$OA=\dfrac{4}{3}OB$求出OA长度，得到A点坐标，最后将A点代入$y=kx+3$求出k值即可。
(2) 直线OC将△AOB面积分为1:2两部分，需分两种情况讨论：$S_{△AOC}:S_{△BOC}=1:2$、$S_{△BOC}:S_{△AOC}=1:2$。两种情况均以OA为△AOC的底，C点纵坐标为高，根据面积比例求出C点纵坐标，代入直线AB解析式得到C点坐标，再用待定系数法求直线OC的解析式。
(3) △AOB是直角边为3、4的直角三角形，若△BCD与它全等，需分类讨论全等的对应关系，结合全等对应边相等的性质求出C点坐标，同时要验证所求点是否符合题意，避免错解、漏解。
【解析】
(1) 直线 $y=kx+3$ 与 $x$ 轴,$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点,
当 $x=0$ 时,得 $y=3$,
$\therefore B(0,3),\therefore OB=3$.
$\because OA=\dfrac{4}{3}OB,\therefore OA=4,\therefore A(4,0)$,
把点 $A$ 的坐标代入 $y=kx+3$,得 $0=4k+3$,
解得 $k=-\dfrac{3}{4}$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$.
(2)$\because OB=3,OA=4$,
$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.
当$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分时,分两种情况讨论:
当 $S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=1:2$ 时,如答图①.
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{3}S_{△ AOB}=2$,
$\therefore \dfrac{1}{2}OA· y_C=2$,即 $\dfrac{1}{2}×4y_C=2$,解得 $y_C=1$,
$\therefore -\dfrac{3}{4}x+3=1$,解得 $x=\dfrac{8}{3},\therefore C(\dfrac{8}{3},1)$.
设直线 $OC$ 的函数表达式为 $y=k_1x(k_1≠0)$,将点 $C$ 的坐标代入,得 $\dfrac{8}{3}k_1=1$,解得 $k_1=\dfrac{3}{8}$,
$\therefore$ 此时直线 $OC$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{3}{8}x$;
当 $S_{△ BOC}:S_{△ AOC}=1:2$ 时,如答图②.
$S_{△ AOC}=\dfrac{2}{3}S_{△ AOB}=4$,
$\therefore \dfrac{1}{2}OA· y_C=4$,即 $\dfrac{1}{2}×4y_C=4,\therefore y_C=2$,
$\therefore -\dfrac{3}{4}x+3=2$,
解得 $x=\dfrac{4}{3},\therefore C(\dfrac{4}{3},2)$.
设直线 $OC$ 的函数表达式为 $y=k_2x(k_2≠0)$,将点 $C$ 的坐标代入,得 $\dfrac{4}{3}k_2=2$,解得 $k_2=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore$ 此时直线 $OC$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{3}{2}x$.
综上所述,当$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分时,直线 $OC$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{3}{8}x$ 或 $y=\dfrac{3}{2}x$.
(3)存在.
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$OA=4,OB=3$,
由勾股定理,得 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.
①若$△ AOB≌△ DCB$,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 交 $y$ 轴于点 $D$,过点 $C$ 作 $CH⊥ OA$ 于点 $H$,如答图③.
$\therefore BD=AB=5,BC=OB=3$,
$\therefore D(0,-2),AC=AB-BC=2$,
设 $C(t,-\dfrac{3}{4}t+3)$,
则 $OH=t,AH=4-t,CH=-\dfrac{3}{4}t+3$,
而 $AH^2+CH^2=AC^2$,
$\therefore (4-t)^2+(-\dfrac{3}{4}t+3)^2=4$,
解得 $t=\dfrac{12}{5}$ 或 $t=\dfrac{28}{5}$,
当 $t=\dfrac{12}{5}$ 时,$C(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$,此时 $CD=4$,符合题意,
当 $t=\dfrac{28}{5}$ 时,$C(\dfrac{28}{5},-\dfrac{6}{5})$,此时 $CD=\sqrt{32}≠ OA$,不符合题意,舍去,$\therefore C(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$.
同理可知,$△ AOB≌△ D'C'B$时,$△ D'C'B≌△ DCB$,
$\therefore BC'=BC$,
$\therefore B$ 为 $CC'$ 的中点,
$\therefore x_{C'}=0-x_C=0-\dfrac{12}{5}=-\dfrac{12}{5}$,
$y_{C'}=2×3-y_C=6-\dfrac{6}{5}=\dfrac{24}{5},\therefore C'(-\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$.
②若$△ AOB≌△ CDB$,如答图④.
$\therefore BD=OB=3,∠ CDB=∠ AOB=90°,\therefore D(0,6)$.
在 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 中,令 $y=6$,得 $x=-4,\therefore C(-4,6)$,
此时 $CD=OA=4,BC=AB=5$,符合题意,$\therefore C(-4,6)$.
综上所述,点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$ 或 $(-\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$ 或 $(-4,6)$.
【答案】
(1) 直线$AB$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{4}x+3}$；
(2) 直线$OC$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{8}x}$或$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{2}x}$；
(3) 存在，点$C$的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})}$、$\boldsymbol{(-\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})}$、$\boldsymbol{(-4,6)}$。
【知识点】
一次函数解析式求解，三角形面积计算，全等三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与三角形的综合题，重点考查分类讨论的数学思想，解题时需对面积比例关系、全等的对应关系分情况讨论，避免漏解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4