【分析】
(1)求格点△ABC的面积，可直接使用三角形面积公式求解：先确定水平边BC的长度，再找到点A到BC的垂直距离（即BC边上的高），代入公式计算即可。
(2)①要画与△ABC全等且公共边为BC的格点三角形，可依据全等三角形SSS判定条件，在BC的另一侧找与点A到B、C距离分别相等的格点，连接后即可得到符合要求的三角形；②要画与△ABC全等且只有唯一公共点A的格点三角形，可通过旋转或平移△ABC，保证仅点A重合，其余顶点、边均不重合，结合全等判定条件找到对应格点即可；③要画面积为5的格点直角三角形且直角边为斜线段，先由直角三角形面积公式推出两直角边的乘积为10，再找到两条互相垂直、长度乘积为10的斜格点线段，连接端点即可得到符合要求的三角形。
【解析】
(1)观察网格可知，BC在同一水平线上，长度为3，点A到BC所在直线的垂直距离（即BC边上的高）为1，代入三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$。
(2)①以BC为公共边，在BC另一侧取格点D，使BD=AB、CD=AC，连接BD、CD，△BDC与△ABC三边对应相等，二者全等，符合要求；
②以点A为公共顶点，取格点E、F，使AE=AB、AF=AC、∠EAF=∠BAC，且E、F不与△ABC其余顶点重合，连接EF，△AEF与△ABC全等且仅公共点A，符合要求；
③由直角三角形面积为5，可得两直角边乘积为$5×2=10$，选取互相垂直的斜格点线段，长度分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，二者乘积为$\sqrt{5}×2\sqrt{5}=10$，连接三个端点得到的直角三角形面积为$\frac{1}{2}×10=5$，符合要求。
【答案】
(1)$\frac{3}{2}$
(2)①如答图①,$△BDC$即为所求.(答案不唯一)

②如答图②,$△AEF$即为所求.(答案不唯一)

③如答图③,$△ABC$即为所求.(答案不唯一)

【知识点】
格点图形面积计算，全等三角形作图，直角三角形性质
【点评】
本题围绕格点三角形考查面积计算与作图能力，解题的关键是熟练运用三角形面积公式、全等三角形判定以及直角三角形的性质，作图类问题答案不唯一，只要满足题目给出的所有条件即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明△ABD≌△ECB，可先从已知条件推导全等所需的要素：由AD//BC可得内错角∠ADB=∠EBC；由∠A=90°、CE⊥BD可得∠A=∠BEC=90°，再结合题中给出的BD=BC，刚好满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求CE的长度时，先利用第一问全等三角形的性质，得到对应边AD=BE，先算出BE的长度，再结合DE的长度求出BD的长度，由BD=BC得到BC的长度，最后在Rt△BCE中运用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ EBC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CE⊥ BD$，$∠ A=90°$，$\therefore ∠ A=∠ BEC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ BEC \\∠ ADB=∠ EBC \\BD=CB\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECB(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：
由(1)中全等三角形的性质，得对应边$AD=BE$，
$\because AD=4$，$\therefore BE=4$。
$\because BD=BE+DE$，$DE=1$，
$\therefore BD=4+1=5$。
又$\because BC=BD$，$\therefore BC=5$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，根据勾股定理$CE^2+BE^2=BC^2$，
$\therefore CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ECB$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，侧重考察基础几何定理的应用能力，解题关键是准确找到全等三角形的判定条件，再利用全等性质转化线段长度，结合勾股定理求解未知线段。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要找到直线AB上到C、D两点距离相等的点E，根据线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出线段CD的垂直平分线，它与AB的交点即为所求的E点。(2) 求AE的长度时，可设AE的长为未知数，结合CA⊥AB、DB⊥AB的垂直条件，可知△EAC和△EBD均为直角三角形，再根据EC=ED，利用勾股定理分别表示出EC²和ED²，建立方程求解即可。
【解析】
(1) 用尺规作线段CD的垂直平分线，该垂直平分线与AB的交点即为点E，作图痕迹如答图所示。
(2) 设图书室E与点A的距离为$x\ \mathrm{km}$，即$AE=x\ \mathrm{km}$，则$EB=AB-AE=(25-x)\mathrm{km}$。
$\because CA⊥ AB$，$DB⊥ AB$，$\therefore ∠ EAC=∠ EBD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ EAC$中，由勾股定理得$EC^2=AE^2+CA^2=x^2+15^2$；
在$\mathrm{Rt}△ EBD$中，由勾股定理得$ED^2=EB^2+DB^2=(25-x)^2+10^2$。
$\because$ 点E到C、D的距离相等，即$EC=ED$，$\therefore EC^2=ED^2$，
代入得：$15^2+x^2=(25-x)^2+10^2$，
展开整理得：$225+x^2=625-50x+x^2+100$，
消去$x^2$后解得$x=10$。
【答案】
(1) 如答图所示.
(2) 图书室E与点A的距离为$10\ \mathrm{km}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了尺规作图的基本操作能力，又考查了利用方程思想结合勾股定理求解线段长度的能力，注重基础知识点的灵活运用，综合性适中。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明BD=CE，需找到中间量关联两条线段。首先观察到“EF⊥CD且F是CD中点”，符合线段垂直平分线的特征，因此连接DE，可得DE=CE；再结合CD是中线、AE是高的条件，可知DE是Rt△AEB斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线性质可得DE=BD，通过等量代换即可完成证明。
(2) 求△ABC的面积，已知底边BC的长度，只需算出高AE的长度即可。首先根据中线性质算出AB的长度，结合第一问结论得到CE的长度，进而求出BE的长度，最后在Rt△ABE中用勾股定理求出AE，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明:连接$DE$,如答图.
$\because EF⊥CD$，$F$是$CD$的中点，
$\therefore EF$是线段$CD$的垂直平分线，$\therefore DE=CE$.
$\because CD$是$△ ABC$的中线，$\therefore D$是$AB$的中点，即$BD=AD$.
$\because AE$是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ AEB=90°$，$△ AEB$是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△AEB$中，$D$是斜边$AB$的中点，$\therefore DE=BD$，
$\therefore BD=CE$.
(2) 解:$\because BD=5$，$D$是$AB$中点，$\therefore AB=2BD=10$.
由(1)的结论得$CE=BD=5$，
$\therefore BE=BC-CE=11-5=6$.
在$\mathrm{Rt}△AEB$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}×BC×AE=\frac{1}{2}×11×8=44$.
【答案】
(1)证明:连接$DE$,如答图.
$\because EF⊥CD,F$是$CD$的中点,
$\therefore DE=CE$.
$\because CD$是中线,$\therefore BD=AD$.
$\because AE$是$△ABC$的高,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△AEB$中,$DE=BD$,
$\therefore BD=CE$.

(2)$\boxed{44}$
【知识点】
线段垂直平分线性质；直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线DE，串联起线段垂直平分线、直角三角形斜边中线的性质完成等量代换，第二问结合勾股定理求高后即可计算面积，能很好地考查学生对三角形相关性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7