【分析】
本题分为两小问证明，解题思路如下：
(1) 要证$DE=DF$，已知$AE=AF$，若能证明$AD$垂直平分$EF$即可得到结论。首先结合$△ ABC$是等腰三角形，$D$是底边$BC$中点，联想到等腰三角形“三线合一”，连接$AD$可得$AD⊥ BC$；再结合$EF// BC$，可推出$AD⊥ EF$，结合$AE=AF$，可知$AD$是$EF$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得$DE=DF$。
(2) 要证$BG=CH$，可通过证明$△ BDG≌△ CDH$实现。首先由$DE=DF$、$AD⊥ EF$可得$AD$平分$∠ EDF$，结合$∠ ADB=∠ ADC=90°$可推出$∠ BDG=∠ CDH$；再结合等腰$△ ABC$的底角$∠ B=∠ C$，$D$是$BC$中点得$BD=CD$，用$ASA$即可证明两三角形全等，进而得到对应边$BG=CH$。
【解析】
(1) 如答图，连接$AD$。
$\because AB=AC$，$D$为$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ DAF=∠ ADB=90°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore AD⊥ EF$。
又$\because AE=AF$，
$\therefore AD$垂直平分$EF$，
$\therefore DE=DF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
(2) $\because DE=DF$，$DA⊥ EF$，
$\therefore ∠ EDA=∠ FDA$（等腰三角形三线合一）。
$\because ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ ADB - ∠ EDA = ∠ ADC - ∠ FDA$，即$∠ EDB=∠ FDC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$（等腰三角形等边对等角）。
在$△ BDG$和$△ CDH$中，
$\begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ BD=CD, \\ ∠ BDG=∠ CDH, \end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CDH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BG=CH$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
1. 证明:(1)如答图,连接 AD.
∵AB=AC,D 为 BC 的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∵EF//BC,
∴∠DAF=∠ADB=90°,
∴AD⊥EF.
∵AE=AF,
∴AD 垂直平分 EF,
∴DE=DF.
(2)
∵DE=DF,DA⊥EF,
∴∠EDA=∠FDA.
∵∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠EDB=∠FDC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△BDG 和△CDH 中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BD=CD, \\ ∠BDG=∠CDH, \end{cases}$
∴△BDG≌△CDH(ASA),
∴BG=CH.
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形应用的典型题型，核心考查等腰三角形三线合一的用法，解题的关键是正确作出辅助线$AD$，结合平行线、全等三角形的相关知识逐步推导，能够帮助学生掌握构造辅助线利用三线合一来解题的技巧。
【难度系数】
0.8
