【分析】
本题要求△DEF的面积，已知△ABC的面积为1，且给出了各边延长后的长度关系。解题思路是：首先观察到△ABC外侧的三个三角形△FAD、△DBE、△ECF分别与△ABC有一组互补的角，根据等高三角形面积与底成正比的性质，我们可以分别计算出这三个外侧三角形的面积，再将它们的面积与中间△ABC的面积相加，即可得到△DEF的总面积。计算时要先明确各延长线段的长度比例，避免算错边长倍数。
【解析】
利用“有一组角互补的两个三角形，面积比等于夹该角的两边长度乘积的比”（可通过作高，利用等高三角形面积比等于底的比验证）：
1. 计算$S_{△ FAD}$：
$∠ FAD$与$∠ BAC$互补，由$BD=AB$得$AD=2AB$，且$AF=2AC$，因此：
$S_{△ FAD}=\frac{AF}{AC}×\frac{AD}{AB}× S_{△ ABC}=2×2×1=4$
2. 计算$S_{△ DBE}$：
$∠ DBE$与$∠ ABC$互补，$BD=AB$，由$CE=2BC$得$BE=3BC$，因此：
$S_{△ DBE}=\frac{BD}{AB}×\frac{BE}{BC}× S_{△ ABC}=1×3×1=3$
3. 计算$S_{△ ECF}$：
$∠ ECF$与$∠ ACB$互补，$CE=2BC$，由$AF=2AC$得$CF=3AC$，因此：
$S_{△ ECF}=\frac{CE}{BC}×\frac{CF}{AC}× S_{△ ABC}=2×3×1=6$
最后$△ DEF$的面积为三个外侧三角形面积加中间$△ ABC$的面积：
$S_{△ DEF}=4+3+6+1=14$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；等高三角形面积比；比例应用
【点评】
本题重点考查三角形面积和边长比例的关联，解题核心是找到外侧三角形与已知三角形的角的互补关系，结合边长比例准确计算各部分面积，解题时需注意延长线段后的总长度倍数，避免因比例计算错误失分。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这道题，我们可以利用三角形中线的性质推导阴影面积和四边形总面积的关系。首先思考：三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两部分，我们可以连接OA、OB、OC、OD，将四边形拆分为多个三角形，再结合各边中点的条件，对比阴影部分和空白部分的面积关系，即可求出阴影总面积。
【解析】
连接OA、OB、OC、OD：
1.
∵M是AB中点，OM是△OAB的中线，
∴$ S_{△ AOM}=S_{△ BOM} $
2.
∵N是BC中点，ON是△OBC的中线，
∴$ S_{△ BON}=S_{△ CON} $
3.
∵P是CD中点，OP是△OCD的中线，
∴$ S_{△ COP}=S_{△ DOP} $
4.
∵Q是AD中点，OQ是△OAD的中线，
∴$ S_{△ DOQ}=S_{△ AOQ} $
将上述四个等式左右分别相加，可得：
$ S_{△ AOM}+S_{△ AOQ}+S_{△ CON}+S_{△ COP}=S_{△ BOM}+S_{△ BON}+S_{△ DOP}+S_{△ DOQ} $
等式左侧为阴影部分总面积，右侧为空白部分总面积，因此阴影面积等于四边形ABCD面积的一半：
$ S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×18=9 $
【答案】
9
【知识点】
三角形中线的性质，面积计算
【点评】
本题核心是利用三角形中线分等面积的性质，通过构造辅助线将四边形面积拆分为多个三角形面积求和，快速建立阴影部分与整体面积的关系，解题关键是熟练掌握中线的面积性质，合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求两个三角形的面积比时，观察发现△ABD和△ACD共享顶点A，底边都在BC上，属于同高三角形，同高三角形的面积比等于底边长的比，因此只需作出BC边上的高，用面积公式分别表示两个三角形的面积，约去公共高就能得到比值。
(2) 要证明面积乘积相等，可先转化为证明比例式$\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_4}{S_3}$。其中△AOD和△AOB同高（顶点A到BD的垂线段），△COD和△BOC同高（顶点C到BD的垂线段），分别作高后可得两组三角形的面积比都等于OD:OB，联立比例式交叉相乘即可得证。
【解析】
(1) 解：如答图①，过点A作$AE⊥BC$于点E，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AE=\frac{1}{2}×3· AE=\frac{3}{2}AE$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AE=\frac{1}{2}×4· AE=2AE$，
因此$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=\frac{3}{2}AE: 2AE=3: 4$。
(2) 证明：如答图②，过点A作$AM⊥BD$于点M，过点C作$CN⊥BD$于点N。
由三角形面积公式得：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}DO· AM$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}BO· AM$，
两式作比得$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{DO}{BO}$；
同理，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BO· CN$，$S_{△ COD}=\frac{1}{2}DO· CN$，
两式作比得$\frac{S_{△ COD}}{S_{△ BOC}}=\frac{DO}{BO}$，
因此$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{S_{△ COD}}{S_{△ BOC}}$，
交叉相乘可得$S_{△ AOD}· S_{△ BOC}=S_{△ AOB}· S_{△ COD}$，即$S_1· S_3=S_2· S_4$。
【答案】
(1) $S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=3:4$；
(2) 证明成立，$S_1· S_3=S_2· S_4$。

【知识点】
三角形面积计算，同高三角形面积性质，比例基本性质
【点评】
本题核心考查三角形面积和线段比例的关联，解题关键是利用“同高三角形面积比等于对应底的比”这一性质，通过作辅助高建立面积与线段长度的联系。第二问将乘积等式转化为比例式证明的思路是这类题型的常用解法，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7