【分析】
(1) 我们可以通过两种不同的方式计算图②中梯形ABED的面积，利用面积相等建立等式，化简后即可得到含a、b、c的关系式。首先直接用梯形面积公式计算，再把梯形拆分为3个三角形，分别计算面积求和，让两个结果相等即可推导。
(2) 可用4个全等的直角三角形拼接成弦图：四周是直角三角形，中间形成小正方形，整体是边长为c的大正方形。同样用两种方法计算大正方形的面积，即可验证(1)得到的等式。
(3) 利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知的$a+b$和$ab$的值先求出$a^2+b^2$，再结合(1)的结论即可求出c的值，注意边长为正数，取正根即可。
【解析】
(1) 计算梯形ABED的面积：
方法一：梯形的上底为b，下底为a，高为$AD=a+b$，根据梯形面积公式得：
$S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
方法二：梯形由2个直角边为a、b的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形组成，因此：
$S_{梯形ABED}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
两种方式计算的面积相等，因此$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2展开化简后得：$c^2=a^2+b^2$。
(2) 拼接图形如答图，将4个全等的直角三角形围成边长为c的大正方形，中间空白为小正方形：
方法一：大正方形边长为c，面积$S=c^2$。
方法二：大正方形面积等于4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，小正方形边长为$b-a$，因此：
$S=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$
两个面积相等，因此$c^2=a^2+b^2$，验证成立。
(3) 已知$a+b=8$，$ab=14$，根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入数值计算：$a^2+b^2=8^2-2×14=64-28=36$。
结合(1)的结论$c^2=a^2+b^2$，得$c^2=36$，又因为c为正数，因此$c=6$。
【答案】
(1) $c^2=a^2+b^2$，推导过程见上述解析；
(2) 验证过程见上述解析，
；
(3) $c=6$
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 完全平方公式
3. 面积法计算
【点评】
本题是勾股定理相关的经典基础题，以图形拼接为载体考查数形结合思想，同时结合完全平方公式的变形考查代数计算能力，掌握面积法的应用和完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
