4.给出如下定义:如果$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$，且$∠ AOC = k∠ BOC$（$k$为正整数），那么称$∠ AOC$是$∠ BOC$的“倍锐角”.
(1)已知$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$，下列三个条件中，能判断$∠ AOC$是$∠ BOC$的“倍锐角”的是
①③
（填写序号）；
①$∠ BOC = 15°$；②$∠ AOC = 70°$；③$OC$是$∠ AOB$的平分线.
(2)如图(1)，当$∠ BOC = 30°$时，在图中画出$∠ BOC$的一个“倍锐角”$∠ AOC$；
(3)如图(2)，当$∠ BOC = 60°$时，射线$OB$绕点$O$旋转，每次旋转$10°$，可得它的“倍锐角”$∠ AOC =$
80°或60°
；
(4)当$∠ BOC = m°$且存在它的“倍锐角”$∠ AOC$时，则$∠ AOB =$
90°或$(90-2m)°$
.
答案：4.(1)①③
[解析]①由$∠BOC=15°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠AOC=75°=5∠BOC$,所以$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”；
②由$∠AOC=70°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠BOC=20°$,两个角不是整数倍关系,所以$∠AOC$不是$∠BOC$的“倍锐角”；
③因为$OC$平分$∠AOB,∠AOC+∠BOC=90°$,
所以$∠AOC=∠BOC=45°$,所以$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”.
综上所述,能判断$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”的是①③.
(2)由$∠BOC=30°,∠AOC+∠BOC=90°$,
得$∠AOC=60°=2∠BOC$.
有两种情况,如图(1)和图(2)所示.
(3)80°或60°
[解析]因为$∠BOC=60°$,且射线$OB$绕点$O$每次旋转$10°$,所以$∠BOC$的取值有$0°,10°,20°,30°,40°$,$50°,60°,70°,80°,90°$,对每个可能的值进行分析可知,只有两种情况下,$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”:
①当$∠BOC=10°$时,$∠AOC=80°=8∠BOC$;
②当$∠BOC=30°$时,$∠AOC=60°=2∠BOC$,
所以$∠AOC=80°$或$60°$.
(4)$90°$或$(90-2m)°$
[解析]若$∠BOC$存在它的“倍锐角”$∠AOC$时,有两种情况,如图(3)和图(4)所示.
①如图(3),当$OA$在$OC$的上方时,
$∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°$;
②如图(4),当$OA$在$OC$的下方时,$∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC-∠BOC=(90-2m)°$,
所以$∠AOB=90°$或$(90-2m)°$.
