4. (2025·河南新乡长垣期中)阅读材料:小兰在学习数轴时发现,若点M,N表示的数分别为-1,3,则线段MN的长度可以这样计算,|-1-3|=4或|3-(-1)|=4,那么当点M,N表示的数分别为m,n时,线段MN的长度可以表示为|m-n|或|n-m|.请你参考小兰的发现,解决下面的问题.
在数轴上,点A,B,C分别表示数a,b,c,给出如下定义:若|a-b|=2|a-c|,则称B为点A,C的双倍绝对点.
(1)如图,a=-1,c=2,点D,E,F在数轴上分别表示数-3,5,6,在这三个点中,
E
是点A,C的双倍绝对点.
(2)若B为点A,C的双倍绝对点.
①当a=-1,|a-c|=2时,求b的值;
②当a=3,|b-c|=5时,求c的值.
答案：(1)E
[解析]因为$a=-1,c=2$,
所以$|-1-b|=2×|-1-2|$,
解得$b=5$或$b=-7$,
所以E是点A,C的双倍绝对点.
(2)①因为$a=-1,|a-c|=2$,
所以$|-1-b|=2×2$,解得$b=-5$或$b=3$,
所以b的值为−5或3.
②因为$|b-c|=5$,所以$c=b+5$或$c=b-5$.
因为$a=3$,所以$|3-b|=2|3-c|$.
当$c=b+5$时,$|3-b|=2|3-b-5|$,
解得$b=-7$或$b=-\frac{1}{3}$,所以$c=-2$或$c=\frac{14}{3}$；
当$c=b-5$时,$|3-b|=2|3-b+5|$,
解得$b=13$或$b=\frac{19}{3}$,所以$c=8$或$c=\frac{4}{3}$.
综上,c的值为$-2$或$\frac{14}{3}$或8或$\frac{4}{3}$.
拓展4.1（2026·辽宁沈阳灯塔期中改编）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1 cm，如图所示。
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为
5 cm
。我们把这个模型记为“木棒模型”；
(2)在(1)的条件下，已知点C表示的数为－2。若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3 cm时，求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题。某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，是世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄。
（拓展4.1）
答案：(1)5 cm
[解析]由题图观察可知,三根木棒的长是$20-5=15$(cm),则此木棒的长为$15÷3=5$(cm).
(2)由题可知,点A所表示的数是$5+5=10$.
因为木棒的左端点与点C相距3 cm,点C表示的数为−2，
如图
,当左端点在点C右侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为$-2+3=1$,右端点表示的数为$1+5=6$,故木棒的右端点与点A的距离为$10-6=4$(cm)；
如图
,当左端点在点C左侧3 cm时,此时木棒左端点表示的数为$-2-3=-5$,故木棒的右端点表示的数为$-5+5=0$,木棒的右端点与点A的距离为$10-0=10$(cm).
所以木棒的右端点与点A的距离为4 cm或10 cm.
(3)如图
,把小宇与爷爷的年龄差看作木棒AB,把当爷爷是小宇现在的年龄时看作当点B移动到点A时,此时点A所对应的数为−41,把当小宇是爷爷现在的年龄时看作当点A移动到点B时,此时点B所对应的数为124，
所以爷爷比小宇大$[124-(-41)]÷3=55$(岁),
所以爷爷现在的年龄为$124-55=69$(岁).
故爷爷现在的年龄是69岁.
