15. (2025·南通启东长江中学月考)[阅读理解]
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题.
例如:如图(1),已知 $AB// CD$,点 $E,F$ 分别在直线 $AB,CD$ 上,点 $P$ 在直线 $AB,CD$ 之间.设 $∠ AEP=∠ α,∠ CFP=∠ β$.求证: $∠ P=∠ α+∠ β$.
证明:如图(2),过点 $P$ 作 $PQ// AB$,所以 $∠ EPQ=∠ AEP=∠ α$.
因为 $PQ// AB,AB// CD$,所以 $PQ// CD$,
所以 $∠ FPQ=∠ CFP=∠ β$,
所以 $∠ EPF=∠ EPQ+∠ FPQ=∠ α+∠ β$,
即 $∠ EPF=∠ α+∠ β$.
可以运用以上结论解答下列问题:
[类比应用]
(1)如图(3),已知 $AB// CD,∠ D=15°,∠ GAB=70°$,求 $∠ P$ 的度数.
(2)如图(4),已知 $AB// CD$,点 $E$ 在直线 $CD$ 上,点 $P$ 在直线 $AB$ 上方,连接 $PA,PE$,则 $∠ PAB,∠ CEP,∠ APE$ 之间有何数量关系?请说明理由.
[拓展应用]
(3)如图(5),已知 $AB// CD$,点 $E$ 在直线 $CD$ 上,点 $P$ 在直线 $AB$ 上方,连接 $PA,PE$, $∠ PED$ 的平分线与 $∠ PAB$ 的平分线所在直线交于点 $Q$,求 $∠ APE+2∠ AQE$ 的值.
答案：15. (1)如图
,延长 $BA$ 至点 $H$.
因为 $AB // CD$,
所以 $∠ APD = ∠ HAP + ∠ D$.
因为 $∠ HAP = ∠ GAB$,
$∠ GAB = 70°$,
所以 $∠ HAP = 70°$.
因为 $∠ D = 15°$,
所以 $∠ APD = 85°$.
(2)$∠ CEP + ∠ PAB - ∠ APE = 180°$. 理由如下:
如图
,过点 $P$ 作 $PM // AB$.
因为 $AB // CD$,
所以 $AB // CD // PM$,
所以 $∠ MPE = ∠ CEP$,
$∠ MPA + ∠ PAB = 180°$,
所以 $∠ MPE - ∠ MPA - ∠ PAB = ∠ CEP - 180°$,
即 $∠ APE - ∠ PAB = ∠ CEP - 180°$,
所以 $∠ CEP + ∠ PAB - ∠ APE = 180°$.
(3)由示例知, 因为 $AB // CD$,
所以 $∠ AQE = ∠ BAQ + ∠ DEQ$,
所以 $2∠ AQE = 2∠ BAQ + 2∠ DEQ = 2(180° - ∠ BAF) + 2∠ DEQ$.
因为 $EQ,AF$ 分别是 $∠ PED$ 与 $∠ PAB$ 的平分线,
所以 $2∠ BAF = ∠ PAB, 2∠ DEQ = ∠ PED$,
所以 $2∠ AQE = 360° - ∠ PAB + ∠ PED$.
由(2)知, $∠ CEP + ∠ PAB - ∠ APE = 180°$,
所以 $∠ APE = ∠ CEP + ∠ PAB - 180°$,
所以 $2∠ AQE + ∠ APE = 360° - ∠ PAB + ∠ PED + ∠ CEP + ∠ PAB - 180° = 180° + 180° = 360°$,
即 $2∠ AQE + ∠ APE = 360°$.
