11. 分类讨论思想是数学的重要思想,在学习有理数的过程中,也深有感受!
(1)当$ab＜0$时,若$b＞0$,$|a|＜|b|$,则$a+b$
＞
$0$;
(2)当$abc＜0$时,若$ab＞0$,则$c$
＜
$0$;
(3)已知$a,b,c$是非零有理数,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=$
±3或±1
;
(4)当$a$与$b$都是整数,且$|a|+|b|=1$,求$a+b$的值.(写出分类讨论的过程)
答案：11.(1)＞ [解析]因为$ab＜0,b＞0$,所以$a＜0.$因为$|a|＜|b|$,所以$a+b＞0.$
(2)＜ [解析]因为$abc＜0,ab＞0$,所以$c＜0.$
(3)±3或±1 [解析]当$a,b,c$均为正数时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}=1+1+1=3$;
当$a,b,c$均为负数时,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=-1-1-1=-3$;
当$a,b,c$中有两个正数一负数时,不妨设$a＞0,b＞0,c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{-c}=1+1-1=1$;
当$a,b,c$中有一个正数两个负数时,不妨设$a＞0,b＜0,c＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=1-1-1=-1$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值为±3或±1.
(4)因为$a$与$b$都是整数,且$|a|+|b|=1$,
分情况讨论:
①$a=1,b=0$,此时$a+b=1$;
②$a=0,b=1$,此时$a+b=1$;
③$a=-1,b=0$,此时$a+b=-1$;
④$a=0,b=-1$,此时$a+b=-1$.
所以$a+b$的值为±1.
12. 数形结合思想(2025·重庆期中)已知a为最大的负整数，|b|=1，|c|=5，且bc＞0，b+c＞0，请解决下列问题：
(1)a=
-1
，b=
1
，c=
5
.
(2)在数轴上，a，b，c所对应的点分别为点A，B，C，点P为数轴上点A，B之间一点(不包括点A，B)，其对应的数为x，化简：|x+1|−|x−1|−|x−5|.
(3)在(2)的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向数轴正方向运动.设运动时间为t秒，则BC−AB的值是否随时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出该值.
答案：12.(1)−1 1 5
(2)因为点$P$为数轴上点$A,B$之间一点(不包括点$A,B$),其对应的数为$x$,所以$-1＜x＜1$,
所以$x+1＞0,x-1＜0,x-5＜0$,
所以$|x+1|-|x-1|-|x-5|$
$=x+1-(1-x)-(5-x)$
$=x+1-1+x-5+x=3x-5.$
(3)$BC-AB$的值不随时间$t$的变化而变化,理由如下:
由题意,得运动$t$秒后,$BC=(5+5t)-(1+2t)=4+3t$,
$AB=t+1+1+2t=3t+2$,
所以$BC-AB=(4+3t)-(3t+2)=4+3t-3t-2=2$,
所以$BC-AB$的值不随时间$t$的变化而变化,为2.
