26. (2026·徐州期末)一张长方形纸片,经过n次裁剪(每次沿直线剪去一个正方形),若剩下的图形为正方形,则称该长方形为“n阶奇异长方形”.例如:图(1)为“1阶奇异长方形”(①,②为正方形);图(2)的2个图形均为“2阶奇异长方形”(③,④,⑤,⑥,⑦,⑧为正方形).设“n阶奇异长方形”的长为a,宽为b(a＞b).
(1)若$a=6$,则图(1)中$b$的值为
3
,图(2)中$b$的值为
2
与
4
;
(2)若图(3)为“4阶奇异长方形”,则$\frac{a}{b}$的值为
$\dfrac{8}{5}$
;
(3)若$n=3,a=20$,求$b$的值.
答案：26.(1)3 2 4 [解析]图(1)中,长方形的长为$a$,宽为$b$,所以$\dfrac{a}{2}=b$.
因为$a=6$,所以$b=\dfrac{6}{2}=3$.
图(2)中,左边的图,因为$\dfrac{a}{3}=b$,所以$b=\dfrac{6}{3}=2$,
右边的图,因为$a-\dfrac{b}{2}=b$,所以$6-\dfrac{b}{2}=b$,所以$b=4$.
(2)$\dfrac{8}{5}$ [解析]如图(3)所示,
设右上方的小正方形的边长为$x$,因为长方形的长为$a$,宽为$b$,
所以$x+x+3x=b$,$5x+2x+x=a$,所以$5x=b$,$8x=a$,所以$\dfrac{a}{b}=\dfrac{8x}{5x}=\dfrac{8}{5}$.
(3)如图(4)所示,$n=3$,
因为$a=20$,所以$b=\dfrac{a}{4}=\dfrac{20}{4}=5$;
如图(5)所示,
因为$a=b+b+\dfrac{b}{2}=20$,所以$b=8$;
如图(6)所示,设右上角的小正方形的边长为$y$,
所以$5y=a=20$,所以$y=4$,因为$3y=b$,所以$b=12$;
如图(7)所示,设右上角的小正方形的边长为$z$,
因为$4z=a=20$,所以$z=5$,因为$b=3z$,所以$b=15$.
综上所述,$b$的值为5,8,12,15.
解析：
【分析】
解题前先明确“n阶奇异长方形”的定义：经过n次沿直线剪正方形的操作后，剩余图形为正方形的长方形。解题时结合图形特征推导长a和宽b的等量关系：
(1) 图(1)是1阶奇异长方形，剪1次得到2个等大正方形，说明长是宽的2倍；图(2)是2阶奇异长方形，分两种情况：左图剪2次得到3个等大正方形，长是宽的3倍；右图剪2次，第一次剪边长为b的正方形后，剩余长方形长是宽的2倍，据此列方程求解即可。
(2) 图(3)是4阶奇异长方形，设最小正方形边长为x，分别用x表示a和b，即可求二者比值。
(3) n=3时，需分类讨论所有可能的裁剪情况，结合a=20列关于b的一元一次方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 图(1)中，裁剪1次得两个正方形，因此$a=2b$，代入$a=6$，得$b=6÷2=3$；
图(2)左图中，裁剪2次得3个等大正方形，因此$a=3b$，代入$a=6$，得$b=6÷3=2$；
图(2)右图中，第一次剪边长为b的正方形后，剩余长方形长为b，宽为$a-b$，再裁剪1次得两个正方形，说明$b=2(a-b)$，代入$a=6$得$b=2(6-b)$，解得$b=4$。
(2) 设图(3)中最小正方形边长为x，观察图形可得$b=5x$，$a=8x$，因此$\frac{a}{b}=\frac{8x}{5x}=\frac{8}{5}$。
(3) 当$n=3$时，分四种情况讨论：
① 裁剪3次得到4个等大正方形，此时$a=4b$，代入$a=20$，得$b=20÷4=5$；
② 第一次剪边长为b的正方形后，剩余长方形长为b，宽为$20-b$，再裁剪2次得3个等大正方形，此时$b=3(20-b)$，解得$b=15$；
③ 第一次剪边长为b的正方形后，剩余长方形先剪边长为$20-b$的正方形，剩下的图形再剪1次得两个正方形，此时$2(2b-20)=20-b$，解得$b=12$；
④ 第一次剪边长为$20-b$的正方形后，剩余长方形裁剪2次得3个等大正方形，此时$20-b=3(2b-20)$，解得$b=8$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{2}$；$\boxed{4}$
(2) $\boxed{\dfrac{8}{5}}$
(3) $\boxed{5,8,12,15}$
【知识点】
新定义问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义与图形裁剪，考察数形结合和分类讨论的能力，解题核心是准确理解定义，结合图形找到长与宽的等量关系，分类讨论时需梳理所有裁剪逻辑，避免漏解。
【难度系数】
0.5
