24.(2026·徐州期中)为丰富课后生活,某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物.书籍原价每本30元,书店为学校采购提供了以下两种优惠方案:
方案一:每本可享受8折优惠.
方案二:60本以内原价(含60本),超过部分每本6折.
学校预计共需购买n本读物(n＞60).请根据要求回答下列问题:
(1)请用含n的代数式分别表示出两种方案购买读物所需的费用;
(2)若学校决定购买100本读物,选择哪个方案费用更低;
(3)若两种方案费用相同,则购买本数n=
120
.
答案：24.(1)方案一费用为$30×0.8× n=24n$(元),
方案二费用为$30×60+30×0.6×(n-60)=18n+720$(元).
(2)方案一费用为$24×100=2400$(元),
方案二费用为$18×100+720=2520$(元).
$2400＜2520$,故选择方案一.
(3)120 [解析]$24n=18n+720$,解得$n=120$.
解析：
【分析】
解题思路如下：
（1）计算两种方案费用需先明确优惠规则：方案一所有书籍均打8折，直接按“原价×折扣×数量”列式即可；方案二是分段计费，前60本按原价，超过60本的部分打6折，分开计算两段费用后求和即可。
（2）判断购买100本时哪个方案更便宜，只需将n=100分别代入第（1）问得到的两个代数式，算出具体费用后比较大小即可。
（3）两种方案费用相同即两个代数式的值相等，据此列出一元一次方程，解方程即可求出n的值。
【解析】
（1）方案一：每本打8折，单价为$30×0.8=24$元，总费用为$24n$元；
方案二：已知$n＞60$，前60本费用为$30×60=1800$元，超过60本的部分共$(n-60)$本，每本单价为$30×0.6=18$元，超过部分总费用为$18(n-60)$元，因此总费用为$1800 + 18(n-60)=18n + 720$元。
（2）当$n=100$时：
方案一费用：$24×100=2400$元；
方案二费用：$18×100 + 720=2520$元；
因为$2400＜2520$，所以选择方案一费用更低。
（3）若两种方案费用相同，则可列方程：
$24n=18n+720$
移项得：$24n-18n=720$
合并同类项得：$6n=720$
系数化为1得：$n=120$
【答案】
（1）方案一费用为$24n$元，方案二费用为$(18n+720)$元；
（2）选择方案一；
（3）120
【知识点】
列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题是实际生活中的方案选择类应用题，核心是理清不同优惠方案的计费规则，尤其是分段计费的计算逻辑，考查了代数式的列式、求值能力以及一元一次方程的解法，计算时需注意细心，避免分段计算时出错。
【难度系数】
0.7
25. 甲、乙两人在一环场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200 m，两人同时从起点同向出发，经过3 min两人首次相遇，此时乙还需跑150 m才能跑完第一圈.
(1)甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？
(2)若两人相遇后，甲立即以每分钟300 m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2 min两人再次相遇，则乙的速度每分钟至少要提高多少米？
答案：25.(1)设乙的速度是每分钟$x$米,则甲的速度是每分钟$(x+200)$米,依题意有$3x+150=200×3$,
解得$x=150$,则$x+200=150+200=350$.
故甲的速度是每分钟350米,乙的速度是每分钟150米.
(2)$(200×3-300×1.2)÷1.2=(600-360)÷1.2=240÷1.2=200$(米/分钟),
$200-150=50$(米/分钟).
故乙的速度每分钟至少要提高50米.
解析：
【分析】
(1) 第一问先抓环形跑道同向首次相遇的规律：快的比慢的多跑1圈周长。已知甲每分钟比乙快200m，3分钟相遇，可得1圈周长=甲3分钟比乙多跑的路程=200×3 m；同时题中给出此时乙跑3分钟的路程+150m=1圈周长，两个表达式都对应1圈周长，据此设未知数列方程即可求解两人速度。
(2) 第二问中相遇后甲掉头，两人变为相向而行，再次相遇时两人路程和等于1圈周长。要让相遇时间不超过1.2min，先算出甲1.2min跑的路程，用总周长减去甲跑的路程得到乙1.2min至少要跑的路程，算出乙需要达到的最低速度，减去原速度就是至少要提高的量。
【解析】
(1) 设乙的速度是每分钟$x$米，则甲的速度是每分钟$(x+200)$米，依题意列方程：
$3x+150=200×3$
解得：$3x=450$，$x=150$
甲的速度为：$x+200=150+200=350$（米/分钟）
(2) 1圈周长为$200×3=600$米，乙1.2分钟至少需要跑的路程为：
$600-300×1.2=600-360=240$（米）
乙提速后最低速度为：$240÷1.2=200$（米/分钟）
乙至少要提高的速度为：$200-150=50$（米/分钟）
【答案】
(1) 甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米；
(2) 乙的速度每分钟至少要提高50米。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 环形跑道行程问题
【点评】
本题重点考察环形跑道中不同运动状态的路程等量关系，同向追及首次相遇的路程差为1圈周长，反向相遇的路程和为1圈周长，找准等量关系是解题的核心，同时也需要学生理解实际问题中“不超过”“至少”等限定词的含义。
【难度系数】
0.6
