【分析】
(1) 第一问考查线段中点的基本定义，若点是线段的中点，则该点将线段分成两条长度相等的线段，每条线段长度为原线段的$\frac{1}{2}$，据此可直接写出推理依据；
(2) 题目仅说明A、B、C在同一直线上，未明确点C的位置，小明只考虑了点C在线段AB上（点C在B左侧）的情况，遗漏了点C在点B右侧的情况，因此需要补充该情形的计算，再综合两种情况得到AM的所有可能长度；
(3) 该问与第二问的分类讨论思路一致，仅说明∠BOC与∠AOB有公共边OB，未明确∠BOC的位置，因此要分两种情况：①∠BOC在∠AOB内部，②∠BOC在∠AOB外部，分别计算出∠AOC的度数，再结合角平分线的定义求出∠AOM的度数即可。
【解析】
(1) 小明计算AM时用到“M是AC的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AC$”，对应的推理依据是线段中点的定义；
(2) 同意小芳的说法，补充完整解答如下：
当点C在点B右侧时，
因为AB=12，BC=4，
所以$AC=AB+BC=12+4=16$。
又M是AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×16=8$。
结合点C在点B左侧时得到的AM=4，可知AM的长为4或8。
(3) 分两种情况：
① 当∠BOC在∠AOB内部时，
因为$∠ AOB=100°$，$∠ BOC=40°$，
所以$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=60°$。
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=30°$；
② 当∠BOC在∠AOB外部时，
因为$∠ AOB=100°$，$∠ BOC=40°$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=140°$。
因为OM平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=70°$。
综上，$∠ AOM$的度数为$30°$或$70°$。
【答案】
(1) 线段中点的定义
(2) 同意小芳的说法，AM的长为4或8，补充过程见解析；
(3) $30°$或$70°$
【知识点】
线段中点定义，角平分线定义，分类讨论思想
【点评】
本题是平面图形初步认识中的典型题型，核心考查位置不确定时的分类讨论意识，解题时要避免因思维定式遗漏另一种情况，同时要熟练掌握线段中点、角平分线的定义并灵活运用。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 首先根据“内半角”的新定义求出∠COD的度数，再利用角的和差关系，用∠AOB的总度数减去已知的∠AOC和∠COD的度数，即可得到∠BOD的度数。
(2) 先根据旋转的性质，得出旋转前后∠COD=∠AOB，旋转角∠AOC=∠BOD=α，再用含α的代数式分别表示出∠AOD和∠COB的度数，结合内半角的等量关系列一元一次方程求解即可。
(3) 三角板顺时针旋转过程中，四条射线OA、OB、OC、OD的相对位置会出现4种不同情况，对应不同的内半角关系，分别针对每种情况用含t的代数式表示出相关角的度数，再根据内半角的等量关系列方程求解，注意旋转一周的角度范围为0°~360°，对应t的取值范围是0＜t＜120。
【解析】
(1) 已知∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB=70°，根据内半角定义可得：
$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$
根据角的和差关系：
$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOC-∠ COD=70°-25°-35°=10°$
(2) 由旋转的性质可知，旋转前后角度大小不变，因此$∠ COD=∠ AOB=60°$，旋转角$∠ AOC=∠ BOD=α$。
则$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=α+60°$，$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=60°-α$。
因为∠COB是∠AOD的内半角，所以$∠ AOD=2∠ COB$，代入得：
$α+60°=2(60°-α)$
解方程得：$α+60°=120°-2α$，$3α=60°$，即$α=20°$。
(3) 三角板旋转速度为3度/秒，因此t秒旋转的角度为$(3t)°$，已知$∠ COD=∠ AOB=30°$，分4种情况讨论：
① 如题图(4)，此时∠COB是∠AOD的内半角：
$∠ AOC=∠ BOD=(3t)°$，$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=(3t)°+30°$，$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=30°-(3t)°$
根据内半角定义：$(3t)°+30°=2[30°-(3t)°]$
解得$t=\frac{10}{3}$；
② 如下图(1)，此时∠BOC是∠AOD的内半角：

$∠ AOC=∠ BOD=(3t)°$，$∠ AOD=(3t)°+30°$，$∠ BOC=(3t)°-30°$
根据内半角定义：$(3t)°+30°=2[(3t)°-30°]$
解得$t=30$；
③ 如下图(2)，此时∠AOD是∠BOC的内半角：
$∠ AOC=∠ BOD=360°-(3t)°$，$∠ BOC=∠ BOD+∠ COD=390°-(3t)°$，$∠ AOD=∠ AOC-∠ COD=330°-(3t)°$
根据内半角定义：$390°-(3t)°=2[330°-(3t)°]$
解得$t=90$；
④ 如下图(3)，此时∠AOD是∠BOC的内半角：

$∠ AOC=∠ BOD=360°-(3t)°$，$∠ BOC=390°-(3t)°$，$∠ AOD=(3t)°-330°$
根据内半角定义：$390°-(3t)°=2[(3t)°-330°]$
解得$t=\frac{350}{3}$。
综上，t的值为$\frac{10}{3}$或30或90或$\frac{350}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{20°}$
(3) $\boxed{\frac{10}{3}}$或$\boxed{30}$或$\boxed{90}$或$\boxed{\frac{350}{3}}$
【知识点】
新定义问题，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题以新定义“内半角”为背景，结合旋转的动态变化考查角的和差计算，解题时需准确理解新定义的等量关系，对于动态旋转问题要注意分类讨论不同的位置情况，避免漏解，能够有效锻炼逻辑思维能力和分类讨论的意识。
【难度系数】
0.4