拓展4.2 倍长中线模型[问题初探]
(1)综合与实践数学活动课上,李老师给出了一个问题:如图(1),若$∠ A=60°,∠ ACB=90°,CD$平分$∠ ACB$,求证:$BC=AC+AD$.
①如图(2),小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路:在$BC$上截取$CE=CA$,连接$DE$,将线段$BC,AC,AD$之间的数量关系转化为$BE$与$AD$的数量关系;
②如图(3),小强同学从$CD$平分$∠ ACB$这个条件出发给出另一种解题思路:延长$CA$至点$E$,使$CE=CB$,连接$DE$,将线段$BC,AC,AD$之间的数量关系转化为$AE$与$AD$的数量关系;
请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程.
[类比分析]
(2)李老师发现两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系;为了帮助学生更好地感悟转化思想,李老师将问题进行变式,请你解答:如图(4),在四边形$ABCD$中,$E$是$BC$的中点,若$AE$平分$∠ BAD$,$∠ AED=90°$,请你探究$AB,AD,CD$的数量关系并证明.
答案：(1)①选择小明同学. 如图(1),在 BC 上截取 CE=AC,则 CE+BE=BC,
∴AC+BE=BC.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ECD.
在△ACD 和△ECD 中,$\begin{cases} CA=CE,\\ ∠ACD=∠ECD,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=ED,∠A=∠CED.
∵∠A=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°.
∵∠CED=∠ABC+∠EDB,
∴∠ABC=∠EDB=30°,
∴BE=ED,
∴BE=AD,
∴BC=AC+AD.
②选择小强同学. 如图(2),延长 CA 到点 E,使 CE=CB,则 CA+AE=BC.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ECD.
在△ECD 和△BCD 中,$\begin{cases} CE=CB,\\ ∠ECD=∠BCD,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ECD≌△BCD(SAS),
∴∠ABC=∠AED.
∵∠CAD=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°.
∵∠CAB=∠AED+∠ADE,
∴∠AED=∠ADE=30°,
∴AE=AD,
∴BC=AC+AD.
(2)AB,AD,CD 的数量关系为 AB+CD=AD. 证明如下:
如图(3),在 AD 上截取 AM=AB,则 AM+DM=AD,
∴AB + DM = AD.
∵ AE 平分 ∠BAD,
∴∠BAE=∠MAE.
在△AME 和△ABE 中,$\begin{cases} AM=AB,\\ ∠MAE=∠BAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AME ≌ △ABE (SAS),
∴ EB = EM, ∠AEB = ∠AEM.
∵∠AED=90°,
∴∠AEM+∠DEM=90°,∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEM=∠DEC.
∵E 是 BC 的中点,
∴BE=EC,
∴ME=CE.
在△MDE 和△CDE 中,$\begin{cases} EM=EC,\\ ∠MED=∠CED,\\ ED=ED, \end{cases}$
∴△MDE≌△CDE(SAS),
∴CD=MD,
∴AD=AB+CD.
本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形外角性质,互余的性质,熟练掌握构造辅助线,灵活证明三角形的全等是解题的关键.
