答案：9. 连接 $CE.$
在 $\mathrm{Rt}△AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△DEC$ 中,$\begin{cases} CE=CE, \\ CA=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}),$
$\therefore AE=DE.\because DE=4,\therefore AE=4.$
$\because AB=10,\therefore BE=AB-AE=10-4=6.$

答案：10. $\because AE⊥BD,CD⊥BD,$
$\therefore ∠AEB=∠BDC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ BE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△BCD(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠A=∠CBD,$
$\therefore ∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABE+∠A=90°,$
$\therefore AB⊥BC.$

答案：11. $\because ∠1=∠2,\therefore DE=CE.\because AD// BC,∠A=90°,$
$\therefore ∠B=90°.\therefore △ADE$ 和 $△EBC$ 是直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中,$\begin{cases} DE=CE, \\ AD=BE. \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$

答案：
12. (1)在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△DEB$ 中,$\begin{cases} AC=DE, \\ BC=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL}),\therefore AB=BD.$
(2)如图,作 BM 平分$∠ABD$ 交 AK 于点 M.
→作角平分线创造新的等角条件,为后续证明全等三角形作铺垫

$\because BM$ 平分$∠ABD$,$KB$ 平分$∠AKG$,$BF$ 平分$∠ABC,$
$\therefore ∠ABM=∠MBD=45°,∠AKB=∠BKG,$
$∠ABF=∠FBC=45°.\because ∠FBC=∠DBG=45°,$
$\therefore ∠MBD=∠GBD,\therefore ∠ABM=∠DBG.$
在$△BMK$ 和$△BGK$ 中,$\begin{cases} ∠MBK=∠GBK, \\ BK=BK, \\ ∠MKB=∠GKB, \end{cases}$
$\therefore △BMK≌△BGK(\mathrm{ASA}),\therefore BM=BG,MK=KG.$
在$△ABM$ 和$△DBG$ 中,$\begin{cases} AB=DB, \\ ∠ABM=∠DBG, \\ BM=BG, \end{cases}$
$\therefore △ABM≌△DBG(\mathrm{SAS}),\therefore AM=DG.$
$\because AK=AM+MK,\therefore AK=DG+KG.$