7. 新考法 类比探究 (2026·连云港外国语学校期末)在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，且$c≥ b≥ a$.
(1)当$△ ABC$是锐角三角形时，小明猜想：$a^2+b^2＞c^2$.以下是他的证明过程：
如图(1)，过点$A$作$AD⊥ CB$，垂足为$D$.
设$CD=x$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD^2=b^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD^2=\underline{\quad①\quad}$，
$\therefore b^2-x^2=\underline{\quad①\quad}$.
化简，得$a^2+b^2-c^2=2ax$.
$\because a＞0,x＞0,\therefore \underline{\quad②\quad}＞0$，
$\therefore a^2+b^2-c^2＞0$，
$\therefore a^2+b^2＞c^2$.
其中，①是________，②是________.
(2)如图(2)，当$△ ABC$是钝角三角形时，猜想$a^2+b^2$与$c^2$之间的关系并证明.
答案：
(1)$c^{2}-(a-x)^{2}$ $2ax$ [解析]如题图(1),过点A作$AD⊥CB$,垂足为D.设$CD=x$,则$DB=a-x$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$,在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$,$\therefore b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$,化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ax$.$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore 2ax＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
(2)$a^{2}+b^{2}＜ c^{2}$.证明如下:
如图,过点A作$AD⊥BC$,交BC的延长线于点D.
设$CD=x$.$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$,在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$,$\therefore b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$,化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-2ax$.$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore -2ax＜0$,$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＜0$,$\therefore a^{2}+b^{2}＜ c^{2}$.
