22.(2026·苏州工业园区期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一,它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
(1)应用一:最短路径问题
如图(1),一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处,如果圆柱的高为8 cm,圆柱的底面半径为$\frac{3}{π}$ cm,那么最短的路线长是
5
cm;
(2)应用二:解决实际问题
如图(2),某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度$BE=0.5$ m,将它往前推2 m至C处时,即水平距离$CD=2$ m,踏板离地的垂直高度$CF=1.5$ m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长.
答案：22.(1)5 [解析]将圆柱展开得到平面图形,如图
所示:
由题意,可得 $AC=\frac{1}{2}×2π×\frac{3}{π}=3(\mathrm{cm})$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5(\mathrm{cm})$.
故最短的路线长是 5 cm.
(2)由题意,可得 $AC=AB$,$DE=CF=1.5\ \mathrm{m}$,$CD=EF=2\ \mathrm{m}$,$BE=0.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=DE-BE=1.5-0.5=1(\mathrm{m})$.
设 $AC=x\ \mathrm{m}$,则 $AD=AB-DB=(x-1)\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$∠ ADC=90°$,$AD=(x-1)\mathrm{m}$,$AC=x\ \mathrm{m}$,$CD=2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AD^2+DC^2=AC^2$,即 $(x-1)^2+2^2=x^2$,
解得 $x=2.5$.
故绳索 $AC$ 的长为 2.5 m.
