7.(2025·扬州树人中学期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$,过点$B$作$BM⊥ AC$于点$M$,连接$MD$,过点$D$作$DN⊥ MD$,交$BM$于点$N$,$CD$与$BM$相交于点$E$,若$E$是$CD$的中点,则下列结论:①$AC=BE$;②$DM=DN$;③$S_{△ DEN}=3S_{△ EMC}$.其中正确的有(
A
).
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案：7.A [解析]
∵∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BM⊥AC于点M,
∴∠ADC=∠EDB=∠AMB=∠CME=90°,
∴∠DCB=∠DBC=45°,∠ACD=∠EBD=90°−∠A,
∴CD=BD.
在△ACD和△EBD中,$\begin{cases} ∠ACD=∠EBD, \\ CD=BD, \\ ∠ADC=∠EDB, \end{cases}$
∴△ACD≌△EBD(ASA),
∴AC=BE.
故①正确；
∵DN⊥MD,
∴∠NDM=90°,
∴∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN.
在△CDM和△BDN中,$\begin{cases} ∠CDM=∠BDN, \\ CD=BD, \\ ∠MCD=∠NBD, \end{cases}$
∴△CDM≌△BDN(ASA),
∴DM=DN.
故②正确；
如图,作DF⊥MN于点F,则FN=FM,∠DFE=∠CME=90°,
∴$S_{△DFN}=S_{△DFM}$.
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△EFD和△EMC中,$\begin{cases} ∠DEF=∠CEM, \\ ∠DFE=∠CME, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴△EFD≌△EMC(AAS),
∴EF=EM,$S_{△EFD}=S_{△EMC}$,
∴$S_{△EMD}=S_{△EFD}=S_{△EMC}$,
∴$S_{△DFN}=S_{△DFM}=2S_{△EFD}=2S_{△EMC}$,
∴$S_{△DEN}=S_{△DFN}+S_{△EFD}=2S_{△EMC}+S_{△EMC}=3S_{△EMC}$.
故③正确.故选A.
