【分析】首先根据折叠的性质可知，挡板折叠前后对应线段长度相等，即$AB=A_1B$；其次由$AC⊥A_1C$可判断$△ A_1CB$是直角三角形，已知两条直角边$A_1C$、$BC$的长度，可通过勾股定理先求出斜边$A_1B$的长度，也就得到了$AB$的长度；最后因为点$A,B,C$共线，车高$AC$为$AB$与$BC$的长度和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because AC ⊥ A_1C, \therefore ∠ A_1CB=90°$.
$\because$在$\mathrm{Rt} △ A_1CB$中,$A_1C=1.6\ \mathrm{m},BC=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore A_1B=\sqrt{BC^{2}+A_1C^{2}}=\sqrt{1.2^2+1.6^2}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$.
$\because$挡板$AB$折落在地面$A_1$处,
$\therefore AB=A_1B=2\ \mathrm{m}$.
$\because$点$A,B,C$在同一条直线上,
$\therefore AC=AB+BC=2+1.2=3.2(\mathrm{m})$.
【答案】
$3.2\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；线段和差计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识应用，解题关键是抓住折叠前后对应线段相等的性质，结合勾股定理计算未知线段长度，侧重对基础性质和公式的应用考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求最少需要的彩带长度，根据两点之间线段最短可知，彩带最短长度就是线段AB的长度，因此本题核心是求AB的长。首先我们可以通过作辅助线构造直角三角形：过B作AE的垂线，即可得到直角三角形ABD，其中直角边BD为两个建筑的水平距离，另一条直角边AD为教学楼高度与围墙高度的差，最后利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
如图，过点$B$作$BD ⊥ AE$于点$D$，
易知四边形$BCED$是长方形。
$\therefore DE=BC=3\ \mathrm{m},BD=CE=16\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD=AE-DE=15-3=12(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt} △ ABD$中，由勾股定理得$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，
$\therefore AB=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20(\mathrm{m})$。
【答案】
至少需要$20\ \mathrm{m}$的彩旗带。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，结合矩形性质得到直角边长度后即可用勾股定理求解，解题过程体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先找等量关系：小球与机器人速度相同、运动时间相同，根据路程=速度×时间，可得二者路程相等，即$BC=AC$。观察图形可知$△ OBC$是直角三角形，$∠ O=90°$，满足勾股定理的使用条件，我们可以设$BC=AC=x\ \mathrm{cm}$，用含$x$的式子表示出$OC$的长度，代入勾股定理列方程求解，即可得到$BC$的长度。
【解析】
$\because$小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
$\therefore BC=CA$，
设$AC$为$x\ \mathrm{cm}$，则$OC=(45-x)\mathrm{cm}$。
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得$OB^{2}+OC^{2}=BC^{2}$。
把$OB=15\ \mathrm{cm}$，$OC=(45-x)\mathrm{cm}$，$BC=x\ \mathrm{cm}$代入关系式，
得$15^{2}+(45-x)^{2}=x^{2}$，
展开计算：$225 + 2025 - 90x + x^2 = x^2$，
化简得$2250 - 90x = 0$，
解得$x=25$。
【答案】
$25\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理，行程等量关系，列方程解应用题
【点评】
本题结合了行程问题与几何计算，解题关键是通过速度、时间的相等关系推出边的等量关系，再利用勾股定理构造方程求解，是方程思想在几何问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7