【分析】
解题时先从图中的垂直关系入手，根据同角的余角相等推出一组角相等，结合已知的AB=BC和公共的直角，用角边角定理证明△ABF和△CBD全等，得到BF=BD的边的关系；再结合已知线段长度求出BF即BD的长，最后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积即可。
【解析】
解：
∵$CB ⊥ AD$，$AE ⊥ CD$，
∴$∠ ABF=∠ CBD=∠ AED=90°$，
∴$∠ A + ∠ D = 90°$，$∠ C + ∠ D = 90°$，
∴$∠ A = ∠ C$。
在$△ ABF$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AB=CB \\∠ ABF=∠ CBD\end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ CBD$（ASA），
∴$BF=BD$。
已知$BC=8$，$CF=2$，则$BF=BC-CF=8-2=6$，
∴$BD=6$。
∵$CB ⊥ AD$，即点$D$到线段$BC$的距离为$BD$的长度，
∴阴影部分面积$S=\frac{1}{2} × CF × BD = \frac{1}{2} × 2 × 6 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是通过角的等量关系证明三角形全等，实现边的转化，进而求出对应三角形的面积，属于几何中常见的全等结合面积计算的题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
要推导∠ABE与∠CBE的数量关系，观察已知条件：AD是∠BAC的角平分线，且BE⊥AD，可通过延长BE交AC于点F构造全等三角形。首先利用角平分线、公共边、垂直的条件证明△ABE≌△AFE，得到∠ABE=∠AFE；再结合三角形外角的性质，得到∠AFE=∠C+∠CBE，将∠C用含∠ABE、∠CBE的式子表示；最后结合已知∠ABC=3∠C，把∠ABC拆分为∠ABE+∠CBE后代入等量关系，整理即可得出两个角的数量关系。
【解析】
延长BE交AC于点F。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE。
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90°。
在△ABE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠FAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEF\end{array} $
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴∠ABE=∠AFE。
∵∠AFE是△BFC的外角，
∴∠AFE=∠C+∠CBE，
即∠ABE=∠C+∠CBE，变形得∠C=∠ABE-∠CBE。
又
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，且已知∠ABC=3∠C，
代入得：$∠ ABE + ∠ CBE = 3(∠ ABE - ∠ CBE)$
展开整理：$∠ ABE + ∠ CBE = 3∠ ABE - 3∠ CBE$
移项得：$4∠ CBE = 2∠ ABE$，即$∠ ABE=2∠ CBE$。
【答案】
$∠ ABE=2∠ CBE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度关系推导的典型题型，解题的核心是抓住“角平分线+垂线”的特征构造全等三角形，再结合外角性质和已知的角度倍数关系进行等量代换，对几何辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题要求EF的长度，已知AC和DF的长度，需要先将三条线段的长度建立关联。首先根据DF//AC可得内错角相等，结合BD=BC、对顶角相等的条件，可通过延长AB交DF的延长线于点G，构造全等三角形将AC的长度转化为DG的长度；再利用已知的∠BEF=∠A，结合全等三角形对应角相等的性质，得到∠G=∠BEF，进而推导出EF和GF的等量关系，最后通过线段和差计算GF的长度即可得到EF的长。
【解析】
解：延长$AB$交$DF$的延长线于点$G$.
$\because DF// AC$，
$\therefore ∠D=∠C$（两直线平行，内错角相等）.
在$△ DBG$和$△ CBA$中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠C \\BD=BC \\∠DBG=∠CBA（对顶角相等）\end{array} $
$\therefore △ DBG≌△ CBA(\mathrm{ASA})$，
$\therefore GD=AC=8$，$∠G = ∠A$.
又$\because ∠BEF = ∠A$，
$\therefore ∠G =∠ BEF$.
过点$F$作$FK⊥GE$于点$K$，则$∠FKE=∠FKG = 90°$，
在$△ EFK$和$△ GFK$中：
$\{\begin{array}{l}∠FKE=∠FKG \\∠KEF=∠KGF \\FK=FK\end{array} $
$\therefore △ EFK ≌△ GFK(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF = GF$.
$\because GD=8$，$DF=2$，
$\therefore GF=GD-DF=8-2=6$，即$EF=6$.
【答案】
6
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等角对等边
【点评】
本题属于典型的几何构造类基础题，解题核心是通过延长线段构造全等三角形，将分散的已知线段长度转化到同一直线上，再结合角的等量关系得到相等线段，最终通过线段和差求解，较好地考查了几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明AD与BE互相平分，即证明两条线段的交点O分别是AD、BE的中点，可通过证明三角形全等得到对应边相等实现。首先利用FB=CE推得BC=EF，再结合两组平行线得到的对应角相等，先证明△ABC≌△DEF，得到AC=DF；再证明△AOC≌△DOF，得到OA=OD、OC=OF，进一步推导OB=OE即可得证。
(2) 利用(1)中OC=OF的结论，可得OC是FC的一半，先求出OC的长度，再结合CE=BF的条件，将OC与CE相加即可得到OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $FB=CE$，
∴ $BF+CF=CE+CF$，即$BC=EF$。
又
∵ $AB// DE$，$AC// DF$，
∴ $∠B=∠E$，$∠ACB=∠DFE$，$∠CAO=∠FDO$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E\\BC=EF\\∠ACB=∠DFE\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ DEF$ (ASA)，
∴ $AC = DF$。
在$△ AOC$和$△ DOF$中，
$\{\begin{array}{l}∠CAO=∠FDO\\AC=DF\\∠ACO=∠DFO\end{array} $
∴ $△ AOC≌△ DOF$(ASA)，
∴ $OA=OD$，$OC=OF$，
∴ $OC+CE=OF+BF$，即 $OE=OB$，
∴ $AD$ 与 $BE$ 互相平分。
(2) 解：由(1)得 $OE = OB$，$OF = OC$，
∴ $OC =\frac{1}{2} FC$，
∵ $FC=4$，
∴ $OC=\frac{1}{2}×4=2$，
又
∵ $BF=5$，$BF=CE$，
∴ $CE=5$，
∴ $OE=OC+CE=2+5=7$。
【答案】
(1) AD与BE互相平分，证明成立；(2) $OE$的长为$\boldsymbol{7}$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
3. 线段中点的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，解题核心是利用平行线的性质得到对应角相等，结合已知线段相等的条件两次证明三角形全等，再借助全等的性质推导线段的数量关系，解题过程中需注意等量代换的正确应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
1. 问题发现：已知△ABC为等腰直角三角形，且∠DCE=∠BAE=90°，可先通过“同角的余角相等”推导得∠B=∠CAE、∠BCD=∠ACE，结合CA=CB用ASA判定△BCD≌△ACE，即可验证BD=AE的结论，再利用全等三角形面积相等，将四边形ADCE的面积转化为△ABC的面积，判断第二个结论是否成立。
2. 问题应用：延续第一问的全等模型思路，过点C作CF⊥AC交AE延长线于F，构造等腰直角△ACF，通过角的互补、互余关系推导得∠ADC=∠FEC、∠DCA=∠ECF，结合CD=CE证△ACD≌△FCE，将四边形ADCE的面积转化为等腰直角△ACF的面积，代入AC=4即可计算结果。
3. 问题延伸：已知AB=AD、∠BAD=90°，通过旋转构造全等，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，证明C、D、G三点共线，把四边形ABCD的面积转化为△ACG的面积，AM平分面积即对应△AMD的面积为△ACG面积的一半，先求CG总长，再计算CM长度即可。
【解析】
问题发现
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠B+∠BAC=90°。
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，即∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠B=∠CAE。
∵CD⊥CE，
∴∠DCE=90°，即∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠BCD。
又
∵CA=CB，
∴△BCD≌△ACE（ASA）。
∴BD=AE，$S_{△ BCD}=S_{△ ACE}$，
则$S_{\mathrm{四边形}ADCE}=S_{△ ACD}+S_{△ ACE}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=S_{△ ABC}$，
故结论①②均正确。
问题应用
过点$C$作$CF⊥AC$，交$AE$的延长线于点$F$，则$∠ACF = 90°$，
∴$∠ACE + ∠ECF =90°$。
∵$∠DCE = ∠DAE = 90°$，
∴$∠ADC +∠AEC = 360°-∠DAE - ∠DCE = 180°$，
又
∵$∠AEC+∠FEC=180°$，
∴$∠ADC=∠FEC$。
∵$∠DCA+∠ACE=∠DCE=90°$，
∴$∠DCA=∠ECF$。
又
∵$CD = CE$，
∴$△ACD ≌ △FCE$(ASA)，
∴$AC = FC$，$S_{△ ACD} = S_{△ FCE}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}ADCE} = S_{△ ACD} + S_{△ ACE} = S_{△ FCE} + S_{△ ACE} =S_{△ ACF}$。
∵$AC=4$，
∴$S_{△ ACF}=\frac{1}{2} AC · CF =\frac{1}{2} AC^2=\frac{1}{2}×4^2=8$，
即四边形$ADCE$的面积为$8$。
问题延伸
连接 $AC$,将$△ ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90°$得$△ ADG$, 则 $△ ABC ≌△ ADG$。
∴$∠ ADG = ∠ B$, $BC = DG$, $S_{△ ABC} =S_{△ ADG}$。
∵$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$,
∴$∠ B +∠ ADC = 360°-∠ BAD - ∠ BCD = 180°$, 即$∠ ADG+∠ ADC=180°$，
∴$C,D,G$ 三点共线，
∴$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = S_{△ ACD} + S_{△ ADG} =S_{△ ACG}$。
∵$AM$ 平分四边形 $ABCD$ 的面积,
∴$S_{△ ADM}=\frac{1}{2} S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2} S_{△ ACG}$。
又
∵$BC=4$，$CD=10$，
∴$CG=CD+DG=CD+BC=14$，即$MD=\frac{1}{2} CG=7$，
∴$CM=CD-MD=10-7=3$。
【答案】
【问题发现】$\boxed{①②}$；【问题应用】$\boxed{8}$；【问题延伸】$\boxed{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，割补法求面积，旋转的性质
【点评】
本题围绕共顶点等线段的全等模型展开，通过角的互余、互补关系推导等角证明全等，实现边和面积的转移，问题延伸部分通过旋转构造全等，将不规则四边形的面积转化为三角形面积求解，渗透了转化的数学思想，对图形分析和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6