8. 如图，在$Rt△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，AN是过点A的一条直线，$BD⊥ AN$于点D，$CE⊥ AN$于点E. 当AN与边BC相交时，线段DE、BD与CE的数量关系是
BD−CE=DE
.
答案：8. $BD−CE=DE$
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC，∠BAC=90°，结合BD⊥AN、CE⊥AN两个垂直条件，可先通过“同角的余角相等”推导得出一组角相等，再利用AAS证明△ABD和△CAE全等，得到对应边相等后，结合线段的和差关系即可推出DE、BD、CE的数量关系。
【解析】
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD + ∠CAE = 90°，
∵BD⊥AN，CE⊥AN，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴∠ABD=∠CAE（同角的余角相等），
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA \\∠ABD=∠CAE \\AB=AC\end{array} $
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE（全等三角形对应边相等），
又
∵AE=DE+AD，
∴BD=DE+CE，
即$BD-CE=DE$。
【答案】
$BD−CE=DE$
【知识点】
余角的性质；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的常见应用题型，核心是利用余角性质找到对应等角，进而证明三角形全等，再通过线段和差转化得到结论，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质，具备基本的线段转化能力。
【难度系数】
0.7
9. (2025·江苏连云港二模)如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点,$△ AEF$的边EF过点C,且$AE=EF$,$AB// EF$,AD平分$∠ BAE$,$CE=2$,$AB=9$,则CF的长为
5
.
答案：9. 5 解析:延长 FE 交 AD 的延长线于点 H,过点 E 作 $EG⊥AH$ 于点 G,则$∠AGE=∠HGE=90°$. 因为 AD 平分$∠BAE$,所以$∠BAD=∠EAG$. 因为 $AB// EF$,所以$∠H=∠BAD$,即$∠H=∠EAG$. 又 $GE=GE$, 所以$△ AGE≌△ HGE$ (AAS). 所以 $AE = HE$. 因为 $AE=EF$,所以 $EF=HE$. 因为 D 为 BC 的中点, 所以 $DC=DB$. 又$∠HDC=∠ADB$,所以$△ HDC≌△ ADB(\mathrm{AAS})$. 所以 $CH=BA$. 因为 $AB=9$,所以 $CH=9$,即 $HE+CE=9$. 又 $CE=2$,所以 $HE=7$. 所以 $EF=7$. 所以 $CF=EF−CE=5$.
解析：
【分析】
解题时可从已知条件入手逐步推导：首先已知AD平分∠BAE、AB//EF，可推出角的等量关系；其次D是BC中点，适合构造全等三角形转化线段长度。我们可以先延长FE交AD的延长线于H，作EG⊥AH构造全等三角形，先证明AE=HE，再结合中点证明△HDC和△ADB全等，得到CH=AB，最后结合已知线段长度即可求出CF的长。
【解析】
延长 FE 交 AD 的延长线于点 H，过点 E 作 $EG⊥AH$ 于点 G，则$∠AGE=∠HGE=90°$.
∵ AD 平分$∠BAE$，
∴$∠BAD=∠EAG$.
∵ $AB// EF$，
∴$∠H=∠BAD$，即$∠H=∠EAG$.
在$△ AGE$和$△ HGE$中：
$\begin{cases}∠EAG=∠H \\∠AGE=∠HGE \\GE=GE\end{cases}$
∴$△ AGE≌△ HGE$（AAS），得$AE = HE$.
∵ $AE=EF$，
∴ $EF=HE$.
∵ D 为 BC 的中点，
∴ $DC=DB$.
在$△ HDC$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}∠H=∠BAD \\∠HDC=∠ADB \\DC=DB\end{cases}$
∴$△ HDC≌△ ADB$（AAS），得$CH=BA$.
∵ $AB=9$，
∴ $CH=9$，即 $HE+CE=9$.
又 $CE=2$，
∴ $HE=9-2=7$，则 $EF=7$.
∴ $CF=EF-CE=7-2=5$.
【答案】
5
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题解题核心是合理构造辅助线，通过构造全等三角形将未知线段和已知线段建立等量关系，是几何线段求解类问题的典型考法，熟练掌握构造全等的常用技巧可以快速破解这类题型。
【难度系数】
0.6
10. 如图，△ACB与△ADE都是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，连接BE，CD，F是BE上一点，连接CF，DF。若∠CDF=45°，则∠CFD=
90°
。
答案：10. $90°$ 解析:过点 C 作 $CM⊥CD$,交 DF 的延长线于点 M,连接 BM,则$∠DCM=90°$. 因为$△ ACB$ 与$△ ADE$ 都是等腰直角三角形,$∠ACB=∠ADE=90°$,所以 $AD = ED$, $AC = BC$. 又$∠CDF = 45°$, $∠CDF + ∠CMD = 90°$, 所以 $∠CMD = 90°−∠CDF=45°$,即$∠CMD=∠CDF$. 过点 C 作 $CK⊥DM$ 于点 K,则$∠CKD=∠CKM=90°$. 又 $CK = CK$, 所以$△ CKD≌△ CKM(\mathrm{AAS})$. 所以 $DK=MK$, $CD=CM$. 又$∠ACB=∠DCM=90°$,所以$∠ACB−∠DCB=∠DCM−∠DCB$,即$∠ACD=∠BCM$. 所以$△ ACD≌△ BCM(\mathrm{SAS})$. 所以 $AD=BM$,$∠ADC=∠BMC$. 所以 $ED = BM$. 又$∠EDF = ∠ADC + ∠CDF − ∠ADE = ∠ADC − 45°$, $∠BMF = ∠BMC − ∠CMD = ∠BMC − 45°$, 所以 $∠EDF = ∠BMF$. 又$∠EFD=∠BFM$,所以$△ EDF≌△ BMF(\mathrm{AAS})$. 所以 $DF=MF$,即 K,F 两点重合. 所以 $CF⊥DM$,即$∠CFD=90°$.
解析：
【分析】
要解决本题，首先结合已知的等腰直角三角形和45°角的条件，通过构造辅助线创造全等条件：首先由∠CDF=45°，过C作CM⊥CD交DF延长线于M，即可得到等腰Rt△DCM，推出CD=CM；再结合△ACB是等腰直角三角形的性质，证明△ACD和△BCM全等，得到边和角的等量关系；接着结合△ADE是等腰直角三角形的性质，证明△EDF和△BMF全等，得到F是DM的中点，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可求出∠CFD的度数。
【解析】
过点C作$CM⊥CD$，交DF的延长线于点M，连接BM，则$∠DCM=90°$。
∵△ACB与△ADE都是等腰直角三角形，$∠ACB=∠ADE=90°$，
∴$AD = ED$，$AC = BC$。
∵$∠CDF = 45°$，$∠CDF + ∠CMD = 90°$，
∴$∠CMD = 90°−∠CDF=45°$，即$∠CMD=∠CDF$，
∴$CD=CM$。
∵$∠ACB=∠DCM=90°$，
∴$∠ACB−∠DCB=∠DCM−∠DCB$，即$∠ACD=∠BCM$。
在△ACD和△BCM中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC\\ ∠ACD=∠BCM\\ CD=CM\end{array} $
∴$△ ACD≌△ BCM(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BM$，$∠ADC=∠BMC$，
∴$ED = BM$。
∵$∠EDF = ∠ADC + ∠CDF − ∠ADE = ∠ADC + 45° - 90°=∠ADC − 45°$，
$∠BMF = ∠BMC − ∠CMD = ∠BMC − 45°$，且$∠ADC=∠BMC$，
∴$∠EDF = ∠BMF$。
在△EDF和△BMF中：
$\{\begin{array}{l}∠EDF=∠BMF\\ ∠EFD=∠BFM\\ ED=BM\end{array} $
∴$△ EDF≌△ BMF(\mathrm{AAS})$，
∴$DF=MF$，即F是DM的中点。
又
∵CD=CM，△DCM是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$CF⊥DM$，即$∠CFD=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
1.等腰直角三角形性质
2.全等三角形判定与性质
3.等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理构造辅助线得到等腰直角三角形，结合全等三角形的判定和性质推导边、角的等量关系，对学生的逻辑推理能力和几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
11. 如图,在等腰直角三角形ACB与等腰直角三角形DCE中,∠ACB=∠DCE=90°.连接AD,BE,点I在AD上,连接IC.
(1)若IC⊥BE,求证:I为AD的中点;
(2)若AI=DI,求证:IC⊥BE.
答案：11. (1) 延长 IC 交 BE 于点 J,分别过 A,D 两点作直线 IC 的垂线,垂足分别为 M,N,则$∠M=∠DNC=∠DNI=90°$. 因为 $IC⊥BE$,所以$∠CJB=∠CJE=90°$,即$∠M=∠CJB$,$∠DNC=∠CJE$. 因为$△ ACB$为等腰直角三角形,$∠ACB=90°$,所以 $AC=CB$,$∠ACM+∠BCJ=180°−∠ACB=90°$. 又$∠CBJ+∠BCJ=90°$,所以$∠CBJ=∠ACM$. 所以$△ ACM≌△ CBJ$ (AAS). 所以 $AM = CJ$. 同理,得 $DN = CJ$. 所以 $AM = DN$. 又$∠AIM = ∠DIN$, 所以$△ AMI≌△ DNI(\mathrm{AAS})$. 所以 $AI=DI$,即 I 为 AD 的中点.
(2) 延长 CI 至点 F,使 $IF = IC$,连接 AF. 因为 $AI = DI$,$∠AIF = ∠DIC$,所以$△ AIF≌△ DIC(\mathrm{SAS})$. 所以 $AF=DC$,$∠F=∠DCI$. 所以$∠ACD=∠ACF + ∠DCI = ∠ACF + ∠F = 180°−∠FAC$. 因为$△ ACB$ 和$△ DCE$ 都是等腰直角三角形,$∠ACB=∠DCE=90°$,所以 $AC=CB$,$CE=DC$. 所以 $AF=CE$. 又$∠ACD=360°−∠ACB−∠DCE−∠ECB=180°−∠ECB$,所以$∠FAC=∠ECB$. 所以 $△ FAC ≌ △ ECB$ (SAS). 所以 $∠ACF = ∠CBE$. 延长 IC 交 BE 于点 K,则$∠ACF + ∠BCK = 180°−∠ACB = 90°$. 所以$∠CBE+∠BCK=90°$. 所以$∠CKE=∠CBE+∠BCK=90°$,即 $IC⊥BE$.
易错警示
解决这类问题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形,不能正确作出辅助线是造成错误的原因.
解析：
【分析】
(1) 要证I为AD中点，即证AI=DI，可构造以AI、DI为对应边的全等三角形证明。结合IC⊥BE、等腰直角三角形的边等条件，先过A、D作IC的垂线，通过余角的性质找角相等，证两次全等分别得到A、D到IC的垂线段相等，再证含AI、DI的直角三角形全等即可得结论。
(2) 已知AI=DI，要证IC⊥BE，可利用中点构造全等转化边和角：延长CI到F使IF=IC，先证△AIF与△DIC全等，得到AF与DC的等量、位置关系，再结合等腰直角三角形的边等条件证△FAC与△ECB全等，得到角的等量关系，最后推导IC与BE的夹角为90°即可。
【解析】
(1) 证明：延长IC交BE于点J，分别过A、D两点作直线IC的垂线，垂足分别为M、N，
则$∠ M=∠ DNC=∠ DNI=90°$。
$\because IC⊥ BE$，$\therefore ∠ CJB=∠ CJE=90°$。
$\because △ ACB$为等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$\therefore AC=CB$。
$\because ∠ ACM+∠ BCJ=180°-∠ ACB=90°$，$∠ CBJ+∠ BCJ=90°$，
$\therefore ∠ ACM=∠ CBJ$。
在$△ ACM$和$△ CBJ$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ CJB\\∠ ACM=∠ CBJ\\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACM≌△ CBJ(\mathrm{AAS})$，$\therefore AM=CJ$。
同理可证$△ DCN≌△ CEJ(\mathrm{AAS})$，$\therefore DN=CJ$，$\therefore AM=DN$。
在$△ AMI$和$△ DNI$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ DNI\\∠ AIM=∠ DIN\\AM=DN\end{cases}$
$\therefore △ AMI≌△ DNI(\mathrm{AAS})$，$\therefore AI=DI$，即I为AD的中点。
(2) 证明：延长CI至点F，使$IF=IC$，连接AF。
在$△ AIF$和$△ DIC$中：
$\begin{cases}AI=DI\\∠ AIF=∠ DIC\\IF=IC\end{cases}$
$\therefore △ AIF≌△ DIC(\mathrm{SAS})$，$\therefore AF=DC$，$∠ F=∠ DCI$，
$\therefore AF// DC$，$\therefore ∠ FAC+∠ ACD=180°$，即$∠ ACD=180°-∠ FAC$。
$\because △ ACB$和$△ DCE$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\therefore AC=CB$，$CE=DC$，$\therefore AF=CE$。
又$\because ∠ ACD=360°-∠ ACB-∠ DCE-∠ ECB=180°-∠ ECB$，
$\therefore ∠ FAC=∠ ECB$。
在$△ FAC$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}AF=CE\\∠ FAC=∠ ECB\\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ FAC≌△ ECB(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ ACF=∠ CBE$。
延长IC交BE于点K，$\because ∠ ACF+∠ BCK=180°-∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CBE+∠ BCK=90°$，$\therefore ∠ BKC=90°$，即$IC⊥ BE$。
【答案】
(1) 已证I为AD中点；
(2) 已证IC⊥BE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是全等三角形与等腰直角三角形结合的典型综合题，核心解题思路是通过构造全等三角形实现边、角的等量转化，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求，掌握全等判定定理、学会结合已知条件选择合适的辅助线是解题关键。
【难度系数】
0.5
12. (1) 如图①，$∠ MAN=90°$，射线AE在这个角的内部，B，C两点分别在$∠ MAN$的边AM，AN上，且$AB=AC$，$CF ⊥ AE$于点F，$BD ⊥ AE$于点D. 求证：$△ ABD ≌ △ CAF$；
(2) 如图②，B，C两点分别在$∠ MAN$的边AM，AN上，E，F两点都在$∠ MAN$内部的射线AD上，$∠ 1$，$∠ 2$分别是$△ BAE$，$△ ACF$的外角，且$AB=AC$，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$. 求证：$△ BAE ≌ △ ACF$；
(3) 如图③，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB＞BC$，点D在边BC上，$CD=2BD$，E，F两点在线段AD上，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$. 若$△ ABC$的面积为15，求$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和.
答案：12. (1) 因为$∠MAN=90°$,$CF⊥AE$,$BD⊥AE$,所以$∠BAD + ∠CAF = 90°$,$∠ADB = ∠CFA = 90°$. 所以 $∠ABD + ∠BAD = 90°$. 所以 $∠ABD = ∠CAF$. 又 $AB=CA$,所以$△ ABD≌△ CAF(\mathrm{AAS})$.
(2) 因为$∠1=∠2=∠BAC$,$∠1=∠BAE + ∠ABE$,$∠BAC=∠BAE+∠CAF$,$∠1+∠AEB=180°$,$∠2+∠CFA=180°$,所以$∠ABE=∠CAF$,$∠AEB = ∠CFA$. 又 $AB = CA$, 所以 $△ BAE ≌ △ ACF(\mathrm{AAS})$.
(3) 因为$△ ABC$ 的面积为 15, $CD = 2BD$, 所以$△ ABD$ 的面积为 $\frac{1}{3} × 15=5$. 由(2),得$△ BAE≌△ ACF$,所以 $S_{△ BAE} = S_{△ ACF}$. 所以 $S_{△ ACF} + S_{△ BDE} = S_{△ BAE} + S_{△ BDE} = S_{△ ABD} =5$. 所以$△ ACF$ 与$△ BDE$ 的面积之和为 5.
解析：
【分析】
(1) 要证$△ ABD ≌ △ CAF$，已知$AB=AC$，由$BD⊥AE$、$CF⊥AE$可得$∠ ADB=∠ CFA=90°$，只需再证一组锐角相等即可：结合$∠ MAN=90°$，利用同角的余角相等可推出$∠ ABD=∠ CAF$，满足AAS全等判定条件。
(2) 要证$△ BAE ≌ △ ACF$，已知$AB=AC$，利用外角性质和已知$∠1=∠2=∠ BAC$，可推得$∠ ABE=∠ CAF$，再由等角的补角相等得$∠ AEB=∠ CFA$，满足AAS全等判定条件。
(3) 求$△ ACF$与$△ BDE$的面积和，可借助(2)的全等结论，将$S_{△ ACF}$转化为$S_{△ BAE}$，则所求面积和等于$S_{△ ABD}$；再根据$CD=2BD$，可知$△ ABD$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{3}$，代入计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ MAN=90°$，$CF⊥AE$，$BD⊥AE$，
$\therefore ∠ BAD + ∠ CAF = 90°$，$∠ ADB = ∠ CFA = 90°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ BAD = 90°$（直角三角形两锐角互余），
$\therefore ∠ ABD = ∠ CAF$（同角的余角相等），
在$△ ABD$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CFA \\∠ ABD=∠ CAF \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAF(\mathrm{AAS})$。
(2) 证明：$\because ∠1$是$△ BAE$的外角，
$\therefore ∠1=∠ BAE + ∠ ABE$，
$\because ∠ BAC=∠ BAE + ∠ CAF$，且$∠1=∠ BAC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ CAF$，
$\because ∠1=∠2$，$∠1+∠ AEB=180°$，$∠2+∠ CFA=180°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ CFA$（等角的补角相等），
在$△ BAE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CFA \\∠ ABE=∠ CAF \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ BAE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$。
(3) 解：$\because △ ABC$的面积为15，$CD=2BD$，$△ ABD$与$△ ABC$同高，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×15=5$，
由(2)得$△ BAE≌△ ACF$，
$\therefore S_{△ BAE}=S_{△ ACF}$，
$\therefore S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ BAE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}=5$。
【答案】
(1) 已证$△ ABD≌△ CAF$；
(2) 已证$△ BAE≌△ ACF$；
(3) $△ ACF$与$△ BDE$的面积之和为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角/等角的余角（补角）相等，三角形面积计算
【点评】
本题是递进式几何题，前两问是全等三角形的基础证明，第三问迁移前序结论实现面积的转化，侧重考察逻辑推理能力和转化思想，掌握全等判定和面积比与线段比的关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
