【分析】首先观察给出的前4组勾股数的特征，先梳理每组第一个数的规律：第①组第一个数是3=2×1+1，第②组是5=2×2+1，第③组是7=2×3+1，第④组是9=2×4+1，可推得第n组的第一个数为2n+1；再观察后两个数的特征，发现每组后两个数相差1，结合前几组第二个数、第三个数和组序号的对应关系，可归纳出第n组的第二个数为2n²+2n，第三个数为2n²+2n+1，求第⑤组时只需将n=5代入对应的规律计算即可。
【解析】观察前4组勾股数与组序号的对应关系：
第①组（n=1）：第一个数为$2×1+1=3$，第二个数为$2×1^2+2×1=4$，第三个数为$2×1^2+2×1+1=5$；
第②组（n=2）：第一个数为$2×2+1=5$，第二个数为$2×2^2+2×2=12$，第三个数为$2×2^2+2×2+1=13$；
第③组（n=3）：第一个数为$2×3+1=7$，第二个数为$2×3^2+2×3=24$，第三个数为$2×3^2+2×3+1=25$；
第④组（n=4）：第一个数为$2×4+1=9$，第二个数为$2×4^2+2×4=40$，第三个数为$2×4^2+2×4+1=41$；
据此规律，第⑤组对应n=5：
第一个数：$2×5+1=11$，
第二个数：$2×5^2+2×5=60$，
第三个数：$2×5^2+2×5+1=61$。
【答案】11,60,61
【知识点】数字规律探究；勾股数的定义
【点评】本题结合中国传统数学文化考查规律探究问题，解题的关键是找到每组勾股数和组序号的对应关系，也可结合勾股数的特征（后两个数相差1，第一个数的平方等于后两个数的和）验证结果，能够锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】0.75

【分析】
(1) 要判断三角形的形状，已知三边长的代数式，可结合勾股定理的逆定理，计算较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可判断；
(2) 先根据半圆面积公式列方程求出边长b的值，再结合b=2n求出n的值，进而得到a的长度，最后利用直角三角形面积公式计算△ABC的面积即可；
(3) 先根据半圆面积公式分别用a、b表示出p、q，再结合(1)中得到的a²+b²=c²，将以c为直径的半圆面积用a²、b²代换，整理即可得到其与p、q的关系。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
已知△ABC的三边长a=n²-1，b=2n，c=n²+1，计算得：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$，
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$，
即$a^2+b^2=c^2$，因此△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
(2) 因为以b为直径的半圆面积为2π，根据半圆面积公式列方程：
$\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=2π$，
化简得$\frac{πb^2}{8}=2π$，解得$b=4$（边长为正，舍去负解）。
又因为b=2n，所以$2n=4$，解得$n=2$，代入a=n²-1得$a=2^2-1=3$。
由(1)知∠C=90°，因此△ABC的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$。
(3) 已知以a、b为直径的半圆面积分别为p、q，根据半圆面积公式得：
$p=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{8}$，$q=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{8}$。
由(1)知$a^2+b^2=c^2$，因此以c为直径的半圆面积为：
$\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{πc^2}{8}=\frac{π}{8}(a^2+b^2)=\frac{πa^2}{8}+\frac{πb^2}{8}=p+q$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，且∠C=90°；(2) 6；(3) $p+q$
【知识点】
勾股定理的逆定理；半圆面积计算；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，同时涉及代数式化简、方程求解等内容，解题的核心是熟练掌握勾股定理及逆定理的内容，结合面积公式灵活变形计算。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到等腰直角三角形内有分散的已知长度线段求角度的问题时，可利用等腰直角三角形两边相等、共顶点的特点，通过旋转将分散的线段集中到相邻三角形中。本题可将△ACP绕点C逆时针旋转90°，使AC与BC重合，得到△BCD，将PA转化为BD、PC转化为CD，同时得到等腰直角△PCD，先求出∠CPD，再通过勾股定理逆定理判断△PBD的形状得到∠DPB，两个角度相加即可得到∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵$AC=BC$，$∠ACB=90°$，
∴将$△ACP$绕点$C$按逆时针方向旋转$90°$，使$AC$与$BC$重合，得到$△BCD$，连接$PD$。
由旋转的性质可得：$DC=PC=2$，$DB=PA=3$，$∠PCD=∠ACB=90°$，
∴$△PCD$是等腰直角三角形，
∴$PD^2=PC^2+DC^2=2^2+2^2=8$，$∠CPD=45°$。
又
∵$PB=1$，
∴$PB^2+PD^2=1^2+8=9$，
∵$DB^2=3^2=9$，
∴$PB^2+PD^2=DB^2$，
由勾股定理的逆定理可得$△PBD$是直角三角形，且$∠DPB=90°$，
∴$∠BPC=∠DPB+∠CPD=90°+45°=135°$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是利用旋转构造全等三角形求解角度的典型题，通过旋转将分散的已知长度线段整合，结合等腰直角三角形性质和勾股定理逆定理即可求解，掌握共顶点等线段条件下的旋转构造方法是解题关键。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决本题，首先需明确△ABP为直角三角形时直角顶点未确定，因此需要先分类讨论直角顶点的位置：若直角在点B，则AB⊥BM，此时点A到BM的距离等于AB=5cm，与题中“点A到BM的距离为3cm”矛盾，因此该情况不存在，仅需考虑直角在点P、直角在点A两种情况。解题时第一步先过点A作AH⊥BM于H，利用勾股定理求出BH的长度；再分别针对两种直角情况，结合勾股定理建立关于t的方程，求解即可得到t的值。
【解析】
解：过点A作AH⊥BM于点H，则∠AHB=∠AHM=90°。
由题意可知，点P的运动路程$BP=2t\ \mathrm{cm}$，点A到BM的距离$AH=3\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABH中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当∠APB=90°时，点P与点H重合，此时$BP=BH=4\ \mathrm{cm}$，
即$2t=4$，解得$t=2$；
② 当∠BAP=90°时，$HP=BP-BH=(2t-4)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ABP中，由勾股定理得$AP^2=BP^2-AB^2=(2t)^2-5^2=4t^2-25$，
在Rt△AHP中，由勾股定理得$AP^2=AH^2+HP^2=3^2+(2t-4)^2=9+(2t-4)^2$，
因此可得方程：$4t^2-25=9+(2t-4)^2$，
展开化简得：$-25=25-16t$，
解得$t=\frac{25}{8}$。
综上，$t$的值为2或$\frac{25}{8}$。
【答案】
2或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的常见题型，结合了动点与直角三角形的判定，解题核心是对直角顶点的分类讨论，避免漏解，同时需熟练运用勾股定理建立等量关系求解，能有效考查学生的逻辑思维和运算能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题三个小问层层递进，解题时可利用前一问的结论推导后一问：
(1) 要证明$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$，先结合直角三角形的勾股定理得到三边关系，再用两种方法表示△ABC的面积，得到$ab=ch$，将两个关系式联立变形即可求证；
(2) 要证明$a+b＜c+h$，由于a、b、c、h都是正数，可通过比较两边平方的大小判断原数的大小，将两边展开后代入(1)中得到的$a^2+b^2=c^2$和$ab=ch$，即可比较平方的大小，进而得到结论；
(3) 判断三角形形状可利用勾股定理的逆定理，先确定最长边为$c+h$，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，代入前两问的结论化简即可判断。
【解析】
(1) 证明：
∵$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}AB· CD$，
∵$AC=b,BC=a,AB=c,CD=h$，
∴$c^2=a^2+b^2$，$ab=ch$，
将$c^2=a^2+b^2$代入$ab=ch$两边平方得：$a^2b^2=(a^2+b^2)h^2$，
两边同时除以$a^2b^2h^2$得：$\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{h^2}$，
拆分后得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$，原式得证。
(2) 证明：由(1)可知$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$，
∵$h^2＞0$，
∴$a^2+b^2 ＜ c^2 + h^2$，
两边同时加$2ab$得：$a^2+b^2+2ab ＜ c^2+h^2+2ab$，
将$ab=ch$代入右侧得：$a^2+b^2+2ab ＜ c^2+h^2+2ch$，
即$(a+b)^2 ＜ (c+h)^2$，
又
∵$a+b＞0$，$c+h＞0$，
∴$a+b ＜ c+h$，原式得证。
(3) 解：以$a+b,h,c+h$为三边长的三角形是直角三角形，理由如下：
由(1)(2)可得$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$，
计算两条较短边的平方和：
$(a+b)^2 + h^2 = a^2 + 2ab + b^2 + h^2 = (a^2+b^2) + 2ab + h^2 = c^2 + 2ch + h^2$，
而最长边的平方$(c+h)^2 = c^2 + 2ch + h^2$，
∴$(a+b)^2 + h^2 = (c+h)^2$，
由勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形。
【答案】
(1) 已证$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$；
(2) 已证$a+b＜c+h$；
(3) 以$a+b,h,c+h$为三边长的三角形是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关的综合探究题，三个小问层层递进，前一问的结论可作为后一问的推理依据，解题时需熟练掌握代数式变形技巧，以及平方比较大小、勾股定理逆定理判断三角形形状的方法，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6