【分析】
要解决这道题，我们可以结合作图分析点A的位置：已知∠B=45°，BC=2，A在射线BM上，要使△ABC唯一，等价于以点C为圆心、d为半径画弧时，弧与射线BM仅有1个符合三角形条件的交点。首先我们需要先求出点C到射线BM的最短距离（垂线段长度），再分情况讨论半径d的不同取值对应的交点个数，最终确定符合要求的d的取值范围，再判断三个人的答案是否正确。
【解析】
解：过点C作CD⊥BM于点D，过点C作CE⊥BC，交BM于点E，
∴∠BDC=∠BCE=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，∠B+∠BEC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠BEC=45°=∠B，
∴BD=CD，BC=CE，
∵BC=2，
∴CE=2，
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD²+CD²=BC²，
又BD=CD，
∴2CD²=4，解得CD=√2，
分情况讨论：
①当d=√2时，即AC=CD，此时弧与射线BM相切于点D，仅有1个交点，只能作出唯一一个△ABC；
②当√2＜d＜2时，以C为圆心d为半径画弧，与射线BM有2个交点，可作出2个不同的△ABC，不符合要求；
③当d≥2时，以C为圆心d为半径画弧，与射线BM仅有1个交点（另一个交点在点B左侧，不属于射线BM，无法构成△ABC），只能作出唯一一个△ABC。
综上，d的取值范围是d=√2或d≥2，即甲、丙的答案合在一起才完整，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂线段的性质，勾股定理，三角形存在性判定
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何动点问题中的应用，解题关键是通过作图明确不同d值对应的交点个数，易错点是容易忽略射线的取值范围导致漏解或多解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先观察已知条件：∠ACB和∠CAD均为90°，可推出AD与BC平行，又已知E是BD中点，遇到平行线+中点的组合，通常可构造“八字形”全等三角形转化线段。因此考虑延长AE交BC的延长线于点F，先证△EAD和△EFB全等，得到AE是AF的一半、AD=BF，再结合已知边长和比例求出AC、CF的长度，最后用勾股定理求AF，即可得到AE的长。
【解析】
延长AE交BC的延长线于点F。
∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=90°，AD//BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EAD=∠EFB，∠EDA=∠EBF。
∵E是BD的中点，
∴DE=BE。
在△EAD和△EFB中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAD=∠ EFB\\∠ EDA=∠ EBF\\DE=BE\end{array} $
∴△EAD≌△EFB（AAS），
∴AD=FB，AE=FE，即$AE=\frac{1}{2}AF$。
∵AD=2BC=6，
∴BC=3，BF=AD=6，
∴CF=BF-BC=6-3=3。
又
∵AC:BC=4:3，BC=3，
∴AC=4。
在Rt△ACF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$AE=\frac{1}{2}AF=\frac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 勾股定理
3. 平行线的性质
【点评】
本题是中点类几何计算的典型题型，解题的核心是通过延长线段构造全等三角形，将分散的已知条件集中到同一个直角三角形中，再结合勾股定理求解，能有效考查学生的辅助线构造能力和几何综合运算能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
遇到本题中OA=OB且∠AOB=90°的条件，可通过作垂线构造“一线三垂直”的全等三角形模型解题。第一步：过A、B分别作OM的垂线，得到两个直角三角形，利用直角三角形两锐角互余推导角相等，证明两个直角三角形全等；第二步：根据全等三角形对应边相等，结合CD的长度和AC、BD的高度差建立方程，求出OE的长度；第三步：利用勾股定理求出绳索长度OA，再求出OM的总高度，最低点N处ON=OA，用OM减ON即可得到MN的高度。
【解析】
过点A作AE⊥OM于点E，过点B作BF⊥OM于点F，则∠OEA=∠BFO=90°。
∴AE=CM，BF=DM，EM=AC=10m，FM=BD=3m。
在Rt△BOF中，∠BOF+∠OBF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠AOE=∠OBF。
在△AOE和△OBF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OEA=∠ BFO\\ ∠ AOE=∠ OBF\\ OA=BO\end{array} $
∴△AOE≌△OBF（AAS）。
∴OE=BF，AE=OF，
∴OE+OF=BF+AE=DM+CM=CD=17m。
设OE=x m，则OF=(17-x)m，
∵EF=EM-FM=10-3=7m，且EF=OF-OE，
∴17-x -x =7，即17-2x=7，
解得x=5，即OE=5m，
∴AE=OF=17-5=12m，
∴OM=OF+FM=12+3=15m。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA=$\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$m，
∴ON=OA=13m，
∴MN=OM-ON=15-13=2m。
【答案】A
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.勾股定理
3.直角三角形的性质
【点评】
本题以实际生活中的荡秋千场景为载体，将几何知识与实际问题结合，解题的核心是构造“一线三垂直”模型证明三角形全等，实现线段的等量转化，再结合方程思想和勾股定理求解，能够较好地考查几何建模能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时需先对点P的位置分类讨论：点P在线段AB上、在AB的延长线上、在BA的延长线上。结合等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半、且平分斜边的性质，作斜边上的高后，将AP、BP用高和公共垂线段的和差表示，再通过完全平方公式展开、结合勾股定理化简，即可验证AP²+BP²与2CP²的关系。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当点P在线段AB上时，如图①，过点C作CH⊥AB于点H，得∠CHP=90°。
因为△ABC是等腰直角三角形，CA=CB，所以CH是AB的中线，即AH=BH=CH。
若P在H左侧：AP=AH-PH，BP=BH+PH，
则$AP^2+BP^2=(AH-PH)^2+(BH+PH)^2=2(AH^2+PH^2)$，
在Rt△CHP中，由勾股定理得$CP^2=CH^2+PH^2=AH^2+PH^2$，因此$AP^2+BP^2=2CP^2$，即$k=2CP^2$。
若P在H右侧，同理可证$k=2CP^2$；若P与H重合，$AP^2+BP^2=2CH^2=2CP^2$，也满足关系。
2. 当点P在AB的延长线上时，如图②，过点C作CD⊥AB于点D，得∠CDP=90°，同理得AD=BD=CD。
此时AP=AD+PD，BP=PD-BD，
则$AP^2+BP^2=(AD+PD)^2+(PD-BD)^2=2(PD^2+BD^2)$，
结合Rt△CDP的勾股定理$CP^2=CD^2+PD^2=BD^2+PD^2$，可得$k=2CP^2$。
3. 当点P在线段BA的延长线上时，同理可证$k=2CP^2$。
综上，直线AB上的所有点P都满足$k=2CP^2$。
【答案】
D

【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题考查几何动点与代数化简的综合应用，核心是运用分类讨论思想覆盖动点的所有位置，通过作辅助线将线段转化为可合并的表达式，结合公式推导得到恒等关系，能有效考查学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆半圆的面积计算公式，明确直径为d的半圆面积表达式；第二步，设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，用a、b、c分别表示出三个半圆的面积S₁、S₂、S₃；第三步，结合直角三角形的勾股定理a²+b²=c²，将三个面积和的表达式化简，最后代入已知斜边AB的长度计算即可。
【解析】
解：设Rt△ABC的直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c，由题可知c=AB=6。
直径为d的半圆面积公式为：$S=\frac{1}{2} × π × (\frac{d}{2})^2 = \frac{π d^2}{8}$。
因此三个半圆的面积分别为：
$S_1=\frac{π a^2}{8}$，$S_2=\frac{π b^2}{8}$，$S_3=\frac{π c^2}{8}$。
∵△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$。
∴$S_1+S_2+S_3=\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}+\frac{π c^2}{8}=\frac{π}{8}(a^2+b^2+c^2)$，
将$a^2+b^2=c^2$代入上式得：
原式$=\frac{π}{8}(c^2 + c^2)=\frac{π}{8} × 2c^2=\frac{π c^2}{4}$，
把c=6代入得：$\frac{π × 6^2}{4}=\frac{36π}{4}=9π$。
【答案】
9π
【知识点】
勾股定理，半圆的面积计算，整体代入求值
【点评】
本题是勾股定理与面积计算的综合题，解题核心是利用勾股定理对面积和的表达式进行整体代换，不需要单独求出两条直角边的长度即可得出结果，能有效考查几何公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时可先观察给出的几组勾股数的共同特征：①较短直角边是从3开始的连续奇数，可表示为$2n+1$；②每组勾股数中，斜边的长度比较长直角边大1。接下来有两种解题思路：一是用归纳法，将每组较长直角边和对应的n值（n从1开始）对比，总结代数式规律；二是结合勾股定理推导，设较长直角边为x，则斜边为x+1，代入勾股定理公式求解x即可得到通用表达式，推导法更严谨，不易出错。
【解析】
观察已知勾股数可知，每组勾股数的斜边比较长直角边大1。
设较长直角边的长为x，则斜边长为$x+1$，已知较短直角边为$2n+1$，根据勾股定理可得：
$(2n+1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开等式两边：
左边：$4n^2 + 4n + 1 + x^2$
右边：$x^2 + 2x + 1$
等式两边同时减去$x^2 + 1$，得：
$4n^2 + 4n = 2x$
化简得：$x = 2n^2 + 2n$
也可通过归纳法验证：当n=1时，对应长直角边$2×1^2+2×1=4$，符合；n=2时，$2×2^2+2×2=12$，符合，结论成立。
【答案】
$2n^2+2n$
【知识点】
勾股定理，规律探究，整式运算
【点评】
本题是勾股数相关的典型规律题型，既可以通过观察数字特征归纳结论，也可以结合勾股定理严谨推导，能很好地考查逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7